Глава четырнадцатая. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР

§ 104. Постановка задачи

Пусть произвольная группа. Под представлением группы над полем К понимается любой гомоморфизм групп, который каждому элементу исходной группы а сопоставляет линейное преобразование А некоторого -мерного векторного пространства над К (или, что по существу равносильно, некоторую -строчную матрицу А). Размерность называется степенью представления. Представление называется точным, если оно является изоморфизмом.

Точно так же под представлением произвольного кольца о над полем К понимается гомоморфизм колец , где А — вновь линейное преобразование -мерного векторного пространства. Это определение совпадает с определением из § 87. Еще тогда было показано, что каждому представлению кольца о над полем К соответствует двойной модуль (на который о действует слева, справа), названный модулем представления, и наоборот; каждый такой модуль представления задает некоторое представление. Изоморфным модулям представления соответствуют эквивалентные представления, и наоборот. Представление называется приводимым, если модуль представления обладает собственным ненулевым подмодулем, и неприводимым, если соответствующий модуль представления прост.

Если о — некоторая алгебра над полем то от представления дополнительно требуется, чтобы основное поле принадлежало полю К и чтобы из соответствия а для любого из следовало соответствие Для модуля представления это означает, что

Основная задача состоит в отыскании всех представлений заданной группы или алгебры. При этом задача о представлениях для конечных групп немедленно сводится к аналогичной задаче для алгебр: нужно лишь в соответствии с § 93 построить из группы групповое кольцо

базисными элементами которого будут элементы группы Если представление группы, то

— представление группового кольца о, в чем легко убедиться. Обратно, любое представление группового кольца о над полем К сопоставляет, в частности, и базисным элементам некоторые линейные преобразования, а они определяют представление самой группы. Мы получили предложение:

Каждое представление конечной группы над полем К задается некоторым представлением группового кольца.

В теории представлений алгебр, как правило, предполагается, что поле представления К совпадает с основным полем Общий случай можно свести к этому частному, расширив алгебру с до алгебры Если в исходном представлении базисным элементам алгебры о соответствовали матрицы то произвольному элементу алгебры можно сопоставить матрицу и тем самым продолжить представление алгебры с до представления алгебры Тем самым каждое представление алгебры с над полем К задает некоторое представление алгебры

Дальнейшее ограничение постановкй задачи получится в случае, когда кольцо обладает единицей. Здесь мы всегда можем считать, что единица 1 является и единичным оператором на модуле представления, т. е. в данном представлении этому элементу соответствует единичная матрица. В противном случае, как на это было указано в § 84, модуль представления является прямой суммой где аннулируется кольцом о, а на единица является единичным оператором. Таким образом, представление распадается на две части, первая из которых состоит из нулевых матриц и поэтому неинтересна, а вторая является представлением, в котором единица переходит в единичный оператор.

Особенно важным представлением алгебры является регулярное представление, которое получается, когда сама алгебра о берется в качестве модуля представления, на который о действует слева, а -справа. Подмодулями здесь служат левые идеалы кольца о. Регулярное представление вполне приводимо, если вполне приводимым слева является само кольцо.