§ 111. Полугруппы линейных преобразований

Пусть дано основное поле мы рассмотрим множество линейных преобразований, матричные элементы которых принадлежат полю или его расширению А. Такое множество называется полугруппой, если вместе с любыми двумя своими преобразованиями оно содержит и их произведение. Линейная оболочка произвольной системы преобразований над состоит из всех линейных

комбинаций преобразований этой системы с коэффициентами из В последующем мы будем рассматривать лишь такие системы, которые содержат только конечное число линейно независимых преобразований над следовательно, линейная оболочка которых имеет конечный ранг над Линейная оболочка полугруппы при этих условиях является некоторой алгеброй конечного ранга над Любой элемент такой алгебры — некоторое линейное преобразование. Следовательно, мы имеем над некоторую алгебру в совершенно определенном точном представлении .

Основной вопрос, интересующий нас в данном случае, таков: как распадается неприводимое представление 2) над расширением

Всякий раз мы будем предполагать, что представление 3) не содержит в качестве составляющего нулевое представление.

Для данной теории основными являются следующие две теоремы:

1. Если представление вполне приводимо, то алгебра полупроста.

2. Если представление неприводимо или распадается на эквивалентные неприводимые составляющие, то алгебра проста.

Доказательство теоремы 1. Если радикал алгебры то его элементы в любом неприводимом представлении переходят в нуль. Так как — точное представление, радикал равен нулю.

Доказательство теоремы 2. Алгебра обязательно полупроста, а потому является прямой суммой простых алгебр: Согласно § 105 в любом неприводимом представлении все алгебры кроме какой-то одной подалгебры представляются нулем. Это утверждение остается справедливым и тогда, когда представление складывается с самим собой несколько раз. Если же представление точное, то может существовать лишь одна подалгебра т. е. алгебра проста.

Из теоремы 1 немедленно следует одна теорема Бернсайда и ее обобщение, принадлежащее Фробениусу и Шуру:

Теорема Бернсайда. В любой абсолютно неприводимой полугруппе матриц порядка имеется ровно линейно независимых матриц.

Обобщение. Если полугруппа матриц над полем А распадается на абсолютно неприводимые части, среди которых есть ровно неэквивалентных порядков соответственно, то полугруппа содержит ровно

линейно независимых матриц над А.

Доказательство обобщения. Линейная оболочка данной полугруппы, построенная над А, является суммой полных

матричных колец порядков над и поэтому имеет ранг

Над полями характеристики нуль справедлива, кроме того, Теорема о следе. Если две полугруппы могут быть переведены друг в друга взаимно однозначно и с сохранением произведения (или, более общо, если обе они являются образами представлений одной и той же абстрактной полугруппы) и если при этом следы соответствующих матриц равны, то полугруппы (соответственно представления) эквивалентны.

Доказательство. Если соответствующие друг другу матрицы объединить в новую матрицу по схеме

то получится некоторая новая вполне приводимая полугруппа 8, линейная оболочка которой является некоторой алгеброй Элементы из являются линейными комбинациями матриц (1) и поэтому точно так же распадаются на две составляющие, каждая из которых задает представление алгебры Следы этих двух представлений являются вполне определенными линейными комбинациями следов исходных матриц и поэтому совпадают. Следовательно (§ 107), оба представления алгебры эквивалентны. Отсюда получается требуемое.

Если то теоремы 1 и 2 согласно § 105 непосредственно обратимы. Но если собственное расширение поля то можно высказать нечто более глубокое:

1а. Если полу простая алгебра и А — сепарабельное расширение поля то каждое представление алгебры над вполне приводимо.

2а. Если алгебра проста и центральна над то каждое представление алгебры над распадается на эквивалентные неприводимые части.

Доказательство. Согласно § 104 каждое представление алгебры над связано с некоторым представлением алгебры Если алгебра полупроста, а сепарабельно над то согласно § 103 алгебра тоже полупроста и поэтому любое представление алгебры над вполне приводимо. Если центральна и проста над то алгебра А обязательно проста и, снова согласно § 103, каждое представление алгебры над распадается на эквивалентные неприводимые составляющие. Тем самым доказаны оба утверждения.

Мы называем полугруппу центральной над если ее линейная оболочка центральна, т. е. центр ее линейной оболочки совпадает с

Если принять во внимание утверждения 1 и 2, то 1а и 2а можно сформулировать и так:

1б. Вполне приводимая полугруппа линейных преобразований. над полем остается вполне приводимой при любом сепарабельном расширении основного поля

2б. Центральная неприводимая полугруппа линейных преобразований над остается неприводимой или распадается на эквивалентные неприводимые составляющие при произвольном расширении основного поля.

Точно так же, как 16, можно доказать и

1в. Вполне приводимая полугруппа остается вполне приводимой при любом расширении основного поля, если центр соответствующей линейной оболочки является прямой суммой сепарабельных расширений поля