§ 117. Простые идеалы и примарные идеалы

Ранее мы определили простые идеалы как идеалы, кольцо классов вычетов которых не имеет делителей нуля.

В кольце целых чисел каждое натуральное число а является произведением степеней различных простых чисел:

а потому каждый идеал является произведением степеней простых идеалов:

В кольцах общего вида нельзя ожидать столь простых теорем о разложении идеалов. Например, в кольце целочисленных многочленов от одной переменной х идеал не являющийся простым, имеет, кроме единичного идеала о, лишь один простой делитель но не равен никакой степени идеала Таким образом, в общем случае нельзя ожидать представления идеалов в виде произведений; самое большее, что можно ожидать, это представление идеалов в виде наименьших общих кратных

(пересечений) по возможности простых компонент в соответствии с тем представлением, которое дает (1) для идеала как наименьшего общего кратного:

Входящие в это представление идеалы обладают следующим одним характерным свойством: если произведение делится на а один из сомножителей, скажем а, не делится на то другой сомножитель должен содержать по крайней мере какой-либо делитель элемента Это означает, что некоторая степень должна делиться на Итак, из

следует, что

Идеалы с таким свойством будут называться примарными.

Идеал называется примарным, если из

следует существование такого что

Это определение можно высказать и так:

Если в кольце классов вычетов по идеалу имеет место равенство то некоторая степень должна быть равна

Если то это означает, что — делитель нуля. Если некоторая степень элемента равна нулю, то элемент называется нильпотентным. Таким образом,

Идеал является примарным, если в кольце классов вычетов по нему каждый делитель нуля нильпотентен.

Как видим, это определение — небольшая модификация определения простого идеала; в кольце классов вычетов по простому идеалу каждый делитель нуля должен быть не только нильпотентным, но и равным нулю.

Мы увидим, что примарные идеалы в кольцах общего вица играют ту же роль, что и степени простых чисел в кольце целых чисел, а именно: при очень общих предположениях каждый идеал

представляется как пересечение примарных идеалов и в этом представлении проявляются важнейшие структурные свойства идеалов.

Примарные идеалы не обязаны быть степенями простых идеалов, как показывает приведенный в начале пример идеала который, очевидно, примарен. Обратное также неверно; например, в кольце целочисленных многочленов которых делится на 3, идеал простой, но не примарный, потому что

для каждого

Свойства примарных идеалов, не зависящие от теоремы о цепях делителей

1. Для каждого примарного идеала существует простой идеал делящий его и определяемый следующим образом: является совокупностью тех элементов для каждого из которых некоторая степень принадлежит

Доказательство. 1. Множество — идеал, потому что из следует, что и из следует (ввиду того, что в выражении после раскрытия скобок каждое слагаемое содержит либо либо сравнение

2. Идеал прост, потому что из

следует, что существует которого

и

Следовательно, нужно взять такое о, что

Отсюда следует, что

3. Идеал является делителем идеала

в самом деле, элементы из конечно, таковы, что некоторые их степени лежат в

Идеал называется простым идеалом, ассоциированным с примарным идеалом а; идеал же называют ассоциированным с идеалом примарным идеалом. Из определения примерного идеала следует:

В некотором смысле обращение этого предложения таково:

III. Пусть идеалы, обладающие следующими свойствами:

1) из следует, что

3) из следует, что для некоторого тогда идеал примпрный, а — ассоциированный с ним простой идеал.

Доказательство. Из следует (в силу 1) и 3)), что Поэтому примерный идеал. Остается лишь показать, что у состоит из таких элементов что некоторая степень лежит в Половина этого утверждения заключена в условии 3). Остается показать, что вытекает Пусть — наименьшее натуральное число, для которого Для все следует из условия 2). Для имеем: но откуда (в силу

Эта теорема облегчает доказательство примарности и отыскание ассоциированных простых идеалов в частых случаях; кроме того, теорема показывает, какими свойствами ассоциированный простой идеал определяется однозначно.

Свойство II имеет место и тогда, когда заменяются на идеалы Из следует, что

Действительно, если бы было то нашелся бы элемент в идеале 1, не принадлежащий идеалу точно так же, элемент а из а, не принадлежащий идеалу Произведение должно, однако, лежать в а потому и в о, что противоречит доказанному ранее.

Точно так же доказывается соответствующее утверждение для простых идеалов:

Вот одно следствие отсюда (получается -кратным применением доказанного):

Другая формулировка предложения IV такова:

IV. Из следует, что

В кольце классов вычетов лежит идеал (в силу Он состоит из нильпотентных элементов, а в случае о из всех делителей нуля.

Свойства примерных идеалов в предположении справедливости теоремы о цепях делителей

Если — простой идеал, ассоциированный с то некоторая степень каждого из элементов идеала лежит в идеале Наименьшая из этих степеней зависит от выбираемых элементов и может неограниченно расти. Если же предположить, что в кольце о выполнена теорема о цепях делителей, то степень не может расти неограниченно, о чем говорит следующая теорема:

V. Некоторая степень делится на

Доказательство. Пусть некоторый базис идеала Пусть в идеале лежат степени Положим

тогда будет порождаться всевозможными произведениями элементов по штук в каждом из таких произведений. В каждом из этих произведений по крайней мере один из сомножителей встречается более раз, т. е. не менее раз. Следовательно, все образующие идеала лежат в откуда и получается требуемое.

Итак, между примарным идеалом и ассоциированным с ним простым идеалом выполняются следующие соотношения:

Наименьшее число для которого выполняются эти соотношения, называется показателем идеала Показатель задает, в частности, верхнюю границу показателей тех степеней, в которые (по меньшей мере) нужно возвести элементы из чтобы получить элементы из

Если идеал примарен, то соотношения (2) являются характеристическими для ассоциированного простого идеала В самом деле, если другой простой идеал также удовлетворяет соотношениям (2) при показателе то

тем самым,

VI. Из следует, что для некоторого а имеет место соотношение

Доказательство. Достаточно взять Из следует, как это было доказано раньше, что

и потому

Идеал с только что описанным свойством называется сильно примарным, в противоположность определенным ранее слабо примарным или просто примарным идеалам. В случае выполнимости теоремы о цепях делителей оба эти понятия совпадают, потому что, как мы уже видели, примарные идеалы при этом являются сильно примарными, а обратное легко следует из возможности сведения идеалов к главным идеалам Если же теорема о цепях делителей не имеет места, то, хотя каждый сильно примарный идеал и является слабо примарным, обратное не всегда верно. См. реферат работы: Вальфиш (Walfisch A.). Uber primare Ideate. - Math. Rev., 1944, 5, S. 226.

(см. скан)