§ 23. Линейные преобразования

Пусть векторные пространства. Линейное преобразование — это отображение А из со следующими свойствами:

Из (1), как всегда, следует, что

Если пространство имеет конечную размерность и векторы составляют в нем базис, то значение линейного преобразования А на произвольном векторе х полностью определяется его значениями на базисных векторах. Действительно, пусть

Тогда в силу (4) и (2)

Если также имеет конечную размерность то в (5) можно слева и справа векторы выразить через базисные векторы пространства :

Из (5) при сравнении коэффициентов получается

Следовательно, линейное преобразование А определяется некоторой матрицей А, т. е. прямоугольной таблицей, в которой в специальном порядке записаны элементов тела К:

Если базисы фиксированы, то каждое линейное преобразование А однозначным образом определяет некоторую матрицу А, и наоборот. Верхний индекс является номером строки, а нижный индекс номером столбца, на пересечении которых в матрице стоит элемент Согласно (7) элементы столбца — это координаты вектора

Если, кроме преобразования А, задано второе преобразование В, отображающее векторное пространство в векторное пространство размерности

то мы получим линейное преобразование отображающее в в согласии со следующей формулой:

а соответствующей матрицей будет матрица

элементы которой таковы:

Формула (12) определяет умножение матриц. Матрицы можно перемножить и получить произведение лишь тогда, когда в матрице В столько же столбцов, сколько в матрице А строк. Элемент произведения матриц получается по формуле (12), в которой элементы строки матрицы В умножаются

на элементы столбца матрицы А и полученные произведения складываются.

Разумеется, для умножения матриц, как и для умножения преобразований, выполняется закон ассоциативности-.

По этой причине пишут просто Точно так же поступают в записи произведения более, чем трех сомножителей.

Каждому вектору х с координатами можно поставить в соответствии матрицу из одного столбца:

Эта матрица определяет вектор однозначно, как только фиксированы базисные векторы Равенство (8), определяющее преобразование, теперь можно записать как матричное равенство:

Если и имеют одинаковые размерности, то А является квадратной матрицей. В частности, линейные преобразования векторного пространства в себя задаются квадратными матрицами.

Под рангом линейного преобразования А понимается размерность образа также являющегося векторным пространством, т. е. максимальное число линейно независимых векторов среди образов Под столбцовым рангом матрицы А понимается число линейно независимых столбцов. Если матрица линейного преобразования то столбцы в А — это векторы и мы имеем предложение:

Ранг преобразования А равен столбцовому рангу матрицы А.

Если ранг равен размерности пространства то отображение А является взаимно однозначным. Если, кроме того, размерность пространства равна размерности пространства то пространство - образ равно и в этом случае налицо взаимно однозначное линейное отображение пространства на пространство Такое преобразование называется неособым; тем же термином характеризуется и матрица А — неособая. Таким образом, квадратная матрица является особой лишь тогда, когда ее столбцовый ранг меньше

Являясь взаимно однозначным, неособое линейное преобразование обладает обращением, т. е. преобразованием действующим обратным по отношению к способом и,

следовательно, удовлетворяющим равенству

где тождественное преобразование или тождество, которое переводит каждый вектор х в себя. Матрица этого преобразования единичная:

Если осуществить сначала преобразование а затем — преобразование А, то точно так же получится тождество

Равенства (13) и (14) можно записать и как матричные равенства:

Чтобы вычислить матрицу эффективно, нужно решить систему уравнений (8) относительно неизвестных при известных лучше всего воспользоваться методом последовательного исключения (§ 22). В качестве решения получается

Матрица является как раз искомой обратной матрицей

Выясним теперь, как меняется матрица А преобразования А, когда в пространствах вводятся новые базисы. Старые базисы обозначались через новые обозначим через Новые базисы выражаются через старые так:

Коэффициенты и образуют неособые матрицы Пусть обратная к матрица обозначена через . С помощью этой матрицы можно разрешить равенства (18) относительно

Матрица А получается в соответствии с (7), когда выражаются через

Чтобы получить новую матрицу, выразим через

Следовательно, новая матрица такова:

В частном случае получается

(см. скан)

Транспонированное преобразование А. Каждому преобразованию А пространства в пространство соответствует преобразование А которое отображает двойственное пространство в двойственное пространство Действительно, если фиксированный ковектор из переменный вектор из то скалярное произведение

является линейной формой по х, т. е. скалярным произведением вектора с некоторым ковектором и:

Этот ковектор и, очевидно, линейно связан с Следовательно, можно положить

и получить равенство

Определенное в (25) преобразование А называется транспонированным по отношению к А.

Равенство (23), переписанное в координатах, выглядит так:

Отсюда следует, что

Матричные элементы преобразования А являются, таким образом, элементами но теперь означает номер строки,

номер столбца. Так получаемую матрицу называют транспонированной и обозначают через А

(см. скан)