§ 65. Построения с помощью циркуля и линейки

Обратимся к рассмотрению следующего вопроса: когда геометрическая задача на построение решается с помощью циркуля и линейки?

Пусть даны образы элементарной геометрии (точки, прямые или окружности). Задача состоит в том, чтобы с их помощью построить другие образы, подчиненные каким-либо известным условиям.

Присоединим к заданным образам декартову систему координат. Тогда все данные образы можно будет представлять с помощью пар чисел (координат) и то же самое верно относительно конструируемых объектов. Если удастся построить (как отрезки) числа, представляющие последние объекты, то задача окажется решенной. Тем самым все сводится к построению одних отрезков по другим, уже заданным. Пусть заданные отрезки, а искомый отрезок.

Прежде всего мы можем дать некоторое достаточное условие построения искомого отрезка:

Если решение х некоторой задачи вещественно и может быть вычислено с помощью рациональных операций и извлечений (не обязательно вещественных) квадратных корней из заданных отрезков то отрезок х можно построить с помощью циркуля и линейки.

Удобнее всего доказать эту теорему так, чтобы все комлексные числа участвующие в вычислении отрезка х, можно было изобразить с помощью точек с координатами на плоскости с прямоугольной системой координат, а все используемые операции можно было изобразить с помощью геометрических построений. Как это сделать, достаточно хорошо известно:

сложение — это сложение векторов, а вычитание — это обратная операция. При умножении складываются аргументы и перемножаются модули; поэтому, если аргументы и модули перемножаемых чисел, то соответствующие значения для произведения строятся с помощью уравнений

Обратной операцией является деление. Наконец, чтобы извлечь квадратный корень из числа с модулем и аргументом соответствующие значения вычисляются из уравнений

и

Тем самым все свелось к известным построениям с помощью циркуля и линейки.

Имеет место и обратная теорема по отношению к только что доказанной:

Если отрезок х можно построить с помощью циркуля и линейки из данных отрезков то число х можно получить с помощью рациональных операций и извлечения квадратных корней из чисел

Чтобы доказать это, рассмотрим подробнее операции, которые можно осуществлять в процессе построения. Вот они: задание произвольной, точки (внутри заданной области); проведение прямой через две точки; проведение окружности с заданными центром и радиусом; наконец, построение точки пересечения двух прямых, точек пересечения прямой и окружности или двух окружностей.

Все эти операции можно проследить с помощью координатной системы чисто алгебраически. Если точка берется внутри области произвольно, то мы можем считать ее координаты рациональными числами. Все остальные построения приводят к рациональным операциям, за исключением двух последних (пересечение прямой с окружностью или пересечение двух окружностей), которые приводят к квадратным уравнениям и, следовательно, к квадратным корням. Тем самым утверждение доказано.

Следует еще отметить, что в геометрической задаче речь не идет о построениях для каждого конкретного выбора заданных точек; там требуется найти общее построение, которое (при известных ограничениях) приводит к решению задачи. Алгебраически это означает, что одна и та же формула (она может содержать квадратные корни) при всевозможных значениях удовлетворяющих заданным условиям, дает решение х, имеющее смысл и удовлетворяющее уравнениям геометрической задачи. Мы можем это высказать и так: уравнения, которыми

определяется величина х, а также квадратные корни и рациональные операции, с помощью которых мы решаэч эти уравнения, должны сохранять смысл, если заданные элементы будут заменены на переменные. Так, например, если задается вопрос о выполнимости деления на три равные части с помощью циркуля и линейки, — в силу формулы

эта задача сводится к решению уравнения

— то вопрос состоит вовсе не в том, чтобы решить уравнение (1) для каких-то конкретных значений а с помощью квадратных корней, а спрашивается, существует ли общая формула решения уравнения (1) — формула, которая сохраняет смысл при неопределенном значении а.

Таким образом, мы свели геометрическую задачу построения с помощью циркуля и линейки к следующей алгебраической задаче: когда величина может быть выражена с помощью рациональных операций и квадратных корней через заданные величины

Ответить на этот вопрос нетрудно. Пусть поле рациональных функций от заданных величин Если элемент х должен выражаться с помощью рациональных операций и квадратных корней через то х должен принадлежать полю, которое получается из последовательным присоединением конечного числа квадратных корней, т. е. последовательным переходом к расширениям степени 2. Если вместе с каждым квадратным корнем присоединять к полю квадратные корни из всех сопряженных элементов, то будут получаться только квадратичные расширения, и в итоге получится нормальное расширение степени в котором лежит элемент х. Итак:

Чтобы отрезок х можно было построить с помощью циркуля и линейки, необходимо выполнение следующего условия: число х принадлежит нормальному расширению поля степени

Однако это условие и достаточно. Действительно, группа Галуа поля степени является группой порядка как группа, порядок которой есть степень простого числа, она разрешима (см § 52) Следовательно, существует композиционный ряд, композиционные факторы которого имеют порядок 2; согласно основной теореме теории Галуа ему соответствует цепь полей, где каждое последующее поле имеет степень 2 над предыдущим. Но любое расширение степени 2 можно осуществить присоединением некоторого квадратного корня; тем самым величина х выражается через квадратные корни, откуда и следует утверждение.

Применим теперь эти общие теоремы к нескольким классическим задачам.

Индийская задача об удвоении куба приводит к кубическому уравнению

которое согласно критерию Эйзенштейна неразложимо; поэтому каждый корень этого уравнения порождает расширение третьей степени. Но всякое такое расширение не может быть подполем поля степени Следовательно, задача об удвоении куба не решается с помощью циркуля и линейки.

Задача о трисекции угла приводит, как мы видели, к уравнению

где а — переменная величина. Неразложимость такого уравнения над полем рациональных функций от а доказать легко: если бы левая часть имела рационально зависящий от а множитель, то у нее был бы множитель, целочисленно зависящий от а; но линейный многочлен от а, коэффициенты которого не имеют общего делителя, очевидно, неразложим. Отсюда, как и выше, получается, что трисекция угла неосуществима с помощью циркуля и линейки.

Алгебраически более удобная форма уравнения трисекции угла получается, когда к полю рациональных функций от присоединяется величина

и уравнение записывается для

Именно:

или, короче

То, что трисекция угла может быть сведена к этому двучленному уравнению, легко следует и из геометрической интерпретации комплексных чисел.

Квадратура круга приводит к построению числа Ее невозможность будет установлена, если показать, что число не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению, т. е. является трансцендентным. Действительно, тогда не может лежать ни

в каком конечном расширении поля рациональных чисел. Соответствующее доказательство, которое не относится к алгебре, см., например, в книге: (см. скан).

Построение правильного многоугольника, вписанного в заданную окружность, в случае углов приводит к числу

где примитивный корень степени из единицы. Так как этот элемент переходит в себя лишь при подстановках из группы Галуа поля деления круга, он порождает некоторое вещественное подполе степени тем самым мы получаем условие для возможности построения этого числа: а также должны быть степенями двойки. Пусть нечетные числа); тогда

(В случае первый множитель выпадает.) Условие, следовательно, состоит в том, чтобы нечетные простые делители входили в лишь в первой степени кроме того, чтобы каждый нечетный простой делитель после вычитания единицы, т. е. число оказывалось степенью двойки, т. е. чтобы выполнялось соотношение

Каковы же простые числа такого вида?

Число не может делиться на нечетное число потому что из

следовало бы, что делится на таким образом, не является простым.

Следовательно, должно иметь место равенство вида и

Значения действительно задают простые числа а именно:

Для и нескольких больших X (как далеко, неизвестно) число не является простым; например, имеет делитель 641.

Таким образом, каждый правильный -угольник, где кроме степени двойки, содержит лишь указанные простые множители не выше, чем в первой степени, можно построить с помощью циркуля и линейки (Гаусс). Пример -угольника был рассмотрен нами еще в § 60. Известны построения и -угольников. Правильные 7- и 9-угольники уже не могут быть построены с помощью циркуля и линейки, потому что они приводят к кубическому подполю в полях деления круга 6-й степени.

(см. скан)