§ 73. Простые трансцендентные расширения

Каждое нростое трансцендентное расширение поля А, как мы знаем, эквивалентно полю частных кольца многочленов Поэтому мы изучим это поле частных

Элементами поля служат рациональные функции

Это представление можно считать несократимым взаимно просты). Наибольшая из степеней многочленов называется степенью функции

Теорема. Каждый отличный от константы элемент степени трансцендентен над А и поле алгебраическое расширение поля степени

Доказательство. Представление будем считать несократимым. Тогда элемент х удовлетворяет уравнению

с коэффициентами из Эти коэффициенты не могут быть все равны нулю. Действительно, если бы все они равнялись нулю и был бы при той же степени х любым ненулевым

коэффициентом многочлена ненулевым коэффициентом многочлена то должно было бы иметь место равенство

откуда что противоречит предположению. Следовательно, элемент х алгебраичен над

Если бы элемент был алгебраическим над то и х был бы алгебраическим над что, однако, не так. Следовательно, элемент трансцендентен над

Элемент х является корнем многочлена степени

в кольце Этот многочлен неразложим в потому что иначе он был бы разложим и в кольце так как он линеен по , один из множителей должен был бы зависеть не от а лишь от Но такого множителя не может быть, потому что взаимно просты.

Следовательно, элемент х является алгебраическим степени над полем Отсюда следует утверждение о том, что

Для дальнейшего отметим, что многочлен

не имеет множителей, зависящих только от (т. е. лежащих в Это утверждение остается верным, когда заменяется своим значением и умножается на знаменатель тем самым многочлен

кольца не имеет множителей, зависящих только от Из доказанной теоремы вытекают три следствия.

1. Степень функции зависит лишь от полей и а не от того или иного выбора порождающего элемента х.

2. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда имеет степень 1, т. е. является дробно-линейной функцией. Это означает: порождающим элементом поля, кроме элемента х, может служить любая дробно-линейная функция от х и только такая функция.

3. Любой автоморфизм поля оставляющий на месте каждый элемент поля должен переводить элемент х в какой-либо порождающий элемент поля. Обратно, если х переводится в какой-либо порождающий элемент каждая функция - в функцию то получается автоморфизм, при котором все элементы из А остаются на месте. Следовательно,

Все автоморфизмы поля над полем А являются дробно-линейными подстановками

Важной для некоторых геометрических исследований является Теорема Люрота. Каждое промежуточное поле 2, для которого является простым трансцендентным расширением:

Доказательство. Элемент х должен быть алгебраическим над 2, потому что если любой элемент из 2, не принадлежащий полю А, то, как было показано, элемент х является алгебраическим над и тем более алгебраическим над 2. Пусть неразложимый в кольце многочленов многочлен со старшим коэффициентом 1 и корнем х имеет вид

Выясним строение этого многочлена.

Элементы являются рациональными функциями от х. С помощью умножения на общий знаменатель их можно сделать целыми рациональными функциями и, кроме того, получить многочлен относительно х с содержанием 1 (ср. § 30):

Степень этого многочлена по х обозначим через а по через

Коэффициенты из (1) не могут все быть независимыми от х, так как иначе х оказался бы алгебраическим элементом над поэтому один из них, скажем,

должен фактически зависеть от запишем его в несократимом виде:

Степени многочленов не превосходят Многочлен

(не являющийся тождественным нулем) имеет корень а потому он делится на в кольце Согласно § 30, если перейти от этих рациональных по х многочленов к целым по х многочленам с содержанием 1, то отношение делимости сохранится, и мы получим

Левая часть в этом равенстве имеет степень по х, не превосходящую Но справа уже многочлен имеет степень следовательно, степень левой части в точности равна не зависит от х. Однако зависящий лишь от множитель не может делить левую часть (см. выше); поэтому является константой:

Так как присутствие константы роли не играет, строение многочлена описано полностью. Степень многочлена по х равна следовательно (по соображениям симметрии), и степень по равна так что По меньшей мере одна из степеней многочленов должна фактически достигать значения следовательно, и функция должна иметь степень по х.

Тем самым, так как с одной стороны установлено равенство

а с другой — равенство

то, поскольку содержит

Теорема Люрота имеет следующее значение для геометрии.

Плоская (неприводимая) алгебраическая кривая называется рациональной, если ее точки, за исключением некоторого конечного числа из них, представляются рациональными параметрическими уравнениями

Может оказаться так, что каждая точка кривой (за исключением конечного числа) получается при нескольких значениях параметра (Например:

для получается одна и та же точка.) В силу теоремы Люрота с помощью удачного выбора параметра это явление всегда можно обойти. Действительно, пусть поле, которое содержит коэффициенты функций какая-нибудь переменная. Тогда является подполем поля Если примитивный элемент поля 2, то

и легко проверить, что новое параметрическое представление

дает ту же кривую; в то же время знаменатель функции обращается в нуль лишь в конечном числе точек кривой, так что всем точкам кривой (за исключением конечного числа) соответствует лишь одно значение параметра

(см. скан)