§ 75. Степень трансцендентности

Мы покажем, что каждое расширение данного поля может быть разложено на некоторое чисто трансцендентное расширение и следующее за ним алгебраическое расширение. В основе рассуждений лежит теорема:

Пусть О — произвольное расширение поля Тогда каждое подмножество поля эквивалентно в смысле алгебраической зависимости некоторому своему подмножеству являющемуся алгебраически независимым.

Доказательство. Пусть вполне упорядочено. Подмножество определим следующим образом: элемент а из принадлежит если а не зависит алгебраически от предшествующего ему отрезка Тогда о множестве можно высказать и доказать следующие утверждения:

1. Множество алгебраически независимо. Действительно, если бы некоторый его элемент зависел от элементов то множество можно было бы выбрать минимальным и тогда каждый элемент зависел бы от всех остальных. В частности, последний в смысле имеющегося порядка элемент зависел

бы от остальных элементов. Но тогда этот последний силу определения множества не мог бы принадлежать множеству

2. Множество зависит от Действительно, в противном случае в существовал бы первый элемент а, не зависящий от Элемент а не принадлежит множеству а потому зависит от предшествующего отрезка который в свою очередь (ведь а — первый не зависящий от элемент) зависит от Тем самым элемент а зависит от что противоречит предположению.

Дополнение. Если то каждая эквивалентная множеству алгебраически независимая подсистема в может быть дополнена до алгебраически независимой подсистемы в эквивалентной множеству

Доказательство. Сделаем множество вполне упорядоченным так, чтобы элементы множества оказались предшествующими остальным элементам объемлющего множества, и построим систему из аналогично тому, как строилась система из множества в предыдущей теореме. Очевидно, содержит среди прочих и элементы из

Система называется неприводимой.

(см. скан)

Согласно предыдущей теореме каждое расширение поля можно рассматривать как некоторое алгебраическое расширение поля где неприводимая система, а потому чисто трансцендентное расширение поля Таким образом, это означает, что поле получается из с помощью некоторого чисто трансцендентного расширения и последующего чисто алгебраического расширения.

Построенная в предыдущих теоремах неприводимая система является, конечно, не единственной; однако мощность этой системы (и тип чисто трансцендентного расширения определена однозначно. Действительно, имеет место теорема:

Две эквивалентные алгебраически независимые системы равномощны.

По поводу общего доказательства этой теоремы можно указать оригинальную работу Штейница в J. reine angew. Math. 137, а также книгу: Гаупт (Haupt О.). Einfuhrung in die Algebra II, Кар. 23,6. Важнейший частный случай имеет место тогда, когда по крайней мере одна из систем конечна. Например, если состоит из элементов то согласно следствию 4 (§ 20) в имеется не более элементов, так что и конечное множество; поскольку на том же основании не может иметь больше элементов, чем множества и равномощны.

Однозначно определенная мощность алгебраически независимой системы эквивалентной полю называется степенью трансцендентности поля над полем

Теорема. Расширение, получающееся в результате двух последовательных расширений (конечных) степеней трансцендентности имеет степень трансцендентности

Доказательство. Пусть . Пусть система, алгебраически независимая над эквивалентная полю 2 и принадлежащая 2, и пусть — система, агебраически независимая над 2, эквивалентная полю и содержащаяся в Тогда имеет мощность имеет мощность и множество не пересекается с так что объединение имеет мощность Если мы сможем установить, что система атгебраически независима над и эквивалентна полю , то требуемое будет доказано.

Поле является алгебраическим над алгебраическим над следовательно, и является алгебраическим над т. е. эквивалентным системе

Если бы существовало какое-либо алгебраическое соотношение между конечным множеством элементов из с коэффициентами из то в него прежде всего не могли бы входить элементы из потому что иначе существовало бы соотношение между этими элементами с коэффициентами из 2, что противоречит алгебраической независимости множества Таким образом, алгебраическое соотношение оказалось бы соотношением лишь между элементами из что противоречит их алгебраической независимости. Следовательно, множество является алгебраически независимым над чем и завершается доказательство.