Глава десятая. БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ

Каждое поле получается из своего простого подполя с помощью конечного или бесконечного расширения. В главах 6 и 8 мы рассмотрели конечные расширения полей; в этой главе рассматриваются бесконечные расширения полей, сначала алгебраические, а затем — трансцендентные.

§ 72. Алгебраически замкнутые поля

Среди алгебраических расширений заданного поля важную роль играют, конечно, максимальные алгебраические расширения, т. е. такие, которые не допускают дальнейшего алгебраического расширения. Существование таких расширений будет доказано в настоящем параграфе.

Чтобы поле было максимальным алгебраическим расширением, необходимо следующее условие: каждый многочлен кольца полностью разлагается на линейные множители (иначе можно было бы, в соответствии с § 39, расширить поле с помощью присоединения корня какого-либо нелинейного неразложимого множителя). Это условие является и достаточным. Действительно, если каждый многочлен в разлагается на линейные множители, то все простые многочлены в линейны и каждый элемент любого алгебраического расширения поля оказывается корнем некоторого линейного многочлена т. е. совпадает с некоторым элементом а поля

Поэтому дадим следующее определение:

Поле называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен в разлагается на линейные множители.

Равнозначное с этим определение таково: поле алгебраически замкнуто, если каждый отличный от константы многочлен из обладает в хоть одним корнем, т. е. хоть одним линейным множителем в

Действительно, если такое условие выполнено и произвольно взятый многочлен разлагается на неразложимые множители, то все они должны быть линейными.

«Основная теорема алгебры», к которой мы вернемся в § 80, утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Следующим примером алгебраически замкнутого поля может

служить поле всех комплексных алгебраических чисел, т. е. множество тех комплексных чисел, которые удовлетворяют какому-либо уравнению с рациональными коэффициентами. Комплексные корни уравнения с алгебраическими коэффициентами являются и в самом деле алгебраическими не только над полем алгебраических чисел, но и над полем рациональных чисел, т. е. сами являются алгебраическими числами.

В этом параграфе мы покажем, как построить алгебраически замкнутое расширение произвольно заданного поля и притом чисто алгебраическим путем. Штейницу принадлежит следующая

Основная теорема. Для каждого поля существует алгебраически замкнутое алгебраическое расширение . С точностью до эквивалентности это расширение определено однозначно: любые два алгебраически замкнутых алгебраических расширения поля эквивалентны.

Доказательству этой теоремы мы должны предпослать несколько лемм:

Лемма 1. Пусть алгебраическое расширение поля Достаточным условием для того, чтобы было алгебраически замкнутым, является разложение на линейные множители любого многочлена из в кольце

Доказательство. Пусть произвольный многочлен из Если он не разлагается на линейные множители, то можно присоединить некоторый его корень а и прийти к собственному надполю . Элемент а является алгебраическим над является алгебраическим расширением поля следовательно, элемент а алгебраичен и над Поэтому он является корнем некоторого многочлена из Этот многочлен разлагается в на линейные множители. Следовательно, а — корень некоторого линейного множителя в т. е. принадлежит полю , что противоречит предположению.

Лемма 2. Если поле вполне упорядочено, то кольцо многочленов может быть вполне упорядочено и притом так, что в этом упорядочении поле будет отрезком.

Доказательство. Определим отношение порядка между многочленами из следующим образом: пусть когда выполнено одно из условий:

1) степень меньше степени

2) степень равна степени и равна т. е.

и при некотором индексе k:

При этом для многочлена делается исключение: ему присваивается степень 0. Очевидно, что таким способом получается некоторое упорядочение, в смысле которого вполне упорядочено. Показывается это так: в каждом непустом множестве многочленов есть непустое подмножество многочленов наименьшей степени; пусть таковая равна . В этом подмножестве есть непустое подмножество многочленов, коэффициент которых является первым в смысле имеющегося порядка среди свободных членов рассматриваемых многочленов; в указанном подмножестве есть в свою очередь подмножество многочленов с первым Подмножество с первым которое в конце концов получится, может состоять лишь из одного едииственного многочлена (так как определяются однозначно благодаря последовательно выполняемому условию минимальности в выборе); этот многочлен является первым элементом в заданном множестве.

Лемма 3. Если поле вполне упорядочено и заданы многочлен степени символов то поле в котором полностью разлагается на линейные множители строится единственным образом и является вполне упорядоченным. Поле в смысле этого порядка является отрезком.

Доказательство. Мы будем присоединять корни последовательно, вследствие чего из последовательно будут возникать поля Предположим, что уже построенное поле и что отрезок в тогда будет строиться так.

Прежде всего в силу леммы 2 кольцо многочленов вполне упорядочивается. Многочлен разлагается в этом кольце на неразложимые множители, среди которых на первом месте будут стоять среди остальных множителей пусть будет первым в смысле имеющегося порядка. Вместе с символом обозначающим корень многочлена мы определяем на основе § 39 поле как совокупность всех сумм

где степень многочлена Если линеен, то, конечно, мы полагаем символ в этом случае не нужен. Построенное поле вполне упорядочивается с помощью следующего условия: каждому элементу поля сопоставим многочлен и элементы поля упорядочим точно так же, как упорядочены соответствующие им многочтены.

Очевидно, тогда является отрезком в а потому и отрезок в

Тем самым поля построены и вполне упорядочены. Поле является искомым однозначно определенным полем

Лемма 4. Если в упорядоченном множестве полей каждое предшествующее поле является подполем последующего, то объединение этих полей является полем.

Доказательство. Для любых двух элементов объединения существуют два поля которые содержат и из которых одно предшествует другому. В объемлющем поле определены элементы а и именно так опредзляются эти элементы в каждом из полей, содэржащих потому что из любых двух таких полей одно предшествует другому и является его подполем. Например, чтобы доказать закон ассоциативности

найдем среди полей то, которое содержит два других поля (наибольшее); в этом поле содержатся и в нем закон ассоциативности выполнен. Тем же способом проверяются все остальные правила вычислений с элементами объединения.

Доказательство основной теоремы распадается на две части: построение поля и доказательство единственности. Построение поля и доказательство единственности проводятся с помощью трансфинитной индукции в смысле § 71.

Построение поля Лемма 1 свидетельствует о том, что для построения алгебраически замкнутого расширения поля достаточно построить такое алгебраическое расширение поля чтобы каждый многочлен из разлагался над этим расширением на линейные множители.

Будем считать, что поле а потому и кольцо многочленов вполне упорядочены. Каждому многочлену сопоставим столько новых символов какова его степень.

Далее, каждому многочлену сопоставим два вполне упорядоченных поля которые определяются следующим рекуррентным способом.

1. Поле является объединением поля и всех полей для

2. Поле вполне упорядочивается так, чтобы и все поля при были отрезками в

3. Поле получается из присоединением всех корней многочлена с помощью символов в соответствии с леммой 3.

Нужно доказать, что таким способом действительно однозначно определяются вполне упорядоченные поля если

только уже определены все предыдущие удовлетворяющие перечисленным выше требованиям.

Если выполнено требование 3, то прежде всего отрезок в Из этого и из требования 2 следует, что поле и каждое поле являются отрезками в Предположим, что рассматриваемые требования выполнены для всех предыдущих индексов так что

Отсюда следует, что поле и поля составляют множество того типа, о котором говорит лемма 4. Следовательно, объединение этих полей снова является полем, которое в соответствии с требованием 1 мы должны обозначить через Структура вполне упорядоченного поля на однозначно определяется требованием 2, потому что любые два элемента из принадлежат одному из полей или и поэтому связаны отношением или которое должно сохраняться в Это отношение порядка является одним и тем же во всех полях или , которые содержат как а, так и потому что все эти поля являются отрезками друг друга. Итак, отношение порядка определено. То, что оно определяет вполне упорядоченное множество, очевидно, так как каждое непустое множество в содержит по меньшей мере один элемент из или из некоторого поля а потому и первый элемент из или из Этот элемент одновременно является и первым элементом в

Таким образом, поле вполне упорядочивается с помощью требований 1 и 2. Так как поле однозначно определяется требованием 3, поля построены.

В силу условия 3 многочлен полностью разлагается на линейные множители в поле Далее, с помощью трансфинитной индукции показывается, что является алгебраическим над Действительно, предположим, что все поля уже алгебраические. Тогда и их объединение с полем т. е. поле алгебраическое. Далее, поле в силу условия 3 алгебраично над а потому алгебраично и над

Составим теперь объединение всех полей согласно лемме 4 оно является полем. Это поле алгебраично над и над ним разлагаются все многочлены (так как каждый многочлен разлагается уже над Следовательно, поле алгебраически замкнуто (лемма 1).

Единственность поля Пусть два поля, являющиеся алгебраическими и алгебраически замкнутыми расширениями поля Докажем эквивалентность этих полей. Для этого будем считать, что оба поля вполне упорядочены. Построим

для каждого отрезка из Q (само поле У также считается одним из таких отрезков) подмножество в и некоторый изоморфизм

Последний должен удовлетворять следующим рекуррентным соотношениям.

1. Изоморфизм должен оставлять каждый элемент поля на месте.

2. Изоморфизм при должен быть продолжением изоморфизма

3. Если обладает последним элементом а, так что и если а — корень неразложимого в многочлена то элемент а должен быть первым корнем соответствующего в силу многочлена во вполне упорядоченном поле

Нужно показать, что этими тремя требованиями действительно определяется изоморфизм , если только он уже определен для всех предыдущих отрезков с: . Здесь необходимо различать два случая.

Первый случай. Множество не имеет последнего элемента. Тогда каждый элемент а принадлежит некоторому предыдущему отрезку поэтому является объединением отрезков , а потому объединением полей для Так как каждый из изоморфизмов является продолжением всех предыдущих, то каждому элементу а при всех этих изоморфизмах сопоставляется лишь один элемент а. Поэтому существует одно и только одно отображение , продолжающее все предыдущие изоморфизмы именно — отображение Очевидно, оно является изоморфизмом и удовлетворяет требованиям 1 и 2.

Второй случай. Множество имеет последний элемент а; следовательно, Вследствие требования 3 элемент а, сопоставляемый элементу а, однозначно определен. Так как а над полем (в смысле рассматриваемого изоморфизма) удовлетворяет «тому же» неразложимому уравнению, что и а над , то изоморфизм (и в том случае, когда пусто, т. е. тождественный изоморфизм продолжается до изоморфизма , при котором а переходит в а (§ 41). Каждым из приведенных выше требований этот изоморфизм определен однозначно, потому что каждая рациональная функция с коэффициентами из обязательно переходит в функцию с соответствующими коэффициентами из То, что так определенный изоморфизм удовлетворяет требованиям 1 и 2, очевидно.

Тем самым построение изоморфизма завершено. Обозначим через объединение всех полей тогда существует

изоморфизм или оставтяющий на месте каждый элемент поля Так как поле алгебраически замкнуто, таким же должно быть и а потому совпадает со всем полем Отсюда следует эквивалентность полей .

Значение алгебраически замкнутого расширения данного поля состоит в том, что с точностью до эквивалентности оно содержит все возможные алгебраические расширения этого поля. Точнее:

Если алгебраически замкнутое алгебраическое расширение поля и — произвольное алгебраическое расширение поля то внутри существует расширение , эквивалентное расширению .

Доказательство. Продолжим до некоторого алгебраически замкнутого алгебраического расширения . Оно будет алгебраическим и над а потому эквивалентным расширению . При каком-то изоморфизме, переводящем и сохраняющем неподвижным каждый элемент из поле переходит в некоторое эквивалентное ему подполе в

(см. скан)

Замечание. Вместо трансфинитной индукции в таком доказательстве, как приведенное в этом параграфе, можно использовать лемму Цорна. См. Цорн (Zorn М.). - Bull. Amer. Math. Soc., 1935, 41, p. 667.