§ 98. Кольца с условием минимальности

Начиная с этого места, будем предполагать, что в кольце о выполнено условие минимальности для левых идеалов. При этом предположении мы прежде всего докажем следующую теорему: Теорема 8. Радикал нильпотентен.

Доказательство. В последовательности степеней существует минимальный идеал Так как содержится в имеет место равенство

или, если положить равенство Покажем, что

Если то рассмотрим множество всех левых идеалов 3 со свойствами:

Это множество непусто, потому что в него входит левый идеал Следовательно, существует минимальный идеал со свойствами (1) и (2); в силу (2) существует такой элемент из что Левый идеал лежит в и обладает свойствами (1) и (2); следовательно, Поэтому в существует такой элемент что Так как принадлежит то в силу теоремы 5 он обладает левым звездно обратным

Умножим это равенство справа на тогда получится, что а это противоречит предположению Тем самым доказано, что а потому и

Малый радикал содержит все нильпотентные двусторонние идеалы; поэтому силу теоремы 7 имеет место обратное включение: Поэтому справедлива

Теорема 9. Малый радикал равен большому радикалу

Так как в силу теоремы 6 все нильидеалы содержатся в имеет место

Теорема 10. Все нильидеалы нилыготентны.

Согласно теореме 2 кольцо классов вычетов полупросто. Если в о выполняется условие минимальности для левых идеалов, то, конечно, оно выполняется и в Рассмотрим теперь в общем виде вопрос о строении полупростых колец с условием минимальности для левых или правых идеалов.

Теорема 11. Каждое полупростое кольцо о с уловием минимальности для левых идеалов является прямой суммой простых левых идеалов

Доказательство. Радикал кольца о, т. е. его нулевой идеал, есть, по определению, пересечение модулярных максимальных левых идеалов 8. Покажем сначала, что нулевой идеал является пересечением даже конечного числа упомянутых идеалов 8.

Рассмотрим множество всех пересечений конечных множеств модулярных максимальных левых идеалов 8. В этом множестве

существует минимальный идеал

Если бы было то существовал бы идеал пересечение которого с было бы подмножеством в Но это противоречит свойству минимальности идеала Следовательно, и

Если в этом представлении в виде пересечения участвует какой-либо идеал содержащий пересечение остальных идеалов, то его можно удалить из записи (4). Удалим из (4) все такие лишние идеалы в результате чего останется несократимое представление

в котором ни один из идеалов не содержит пересечение -остальных идеалов. Сумма является в таком случае идеалом, собственно содержащим идеал а так как 8,- максимален, то она равна :

Равенства (5) и (6) утверждают, что идеал является прямым пересечением максимальных идеалов В силу § 92 отсюда следует, что с — прямая сумма левых идеалов :

В соответствии с § 92 для каждого имеет место операторный изоморфизм

а так как модуль классов вычетов прост, то идеалы являются простыми. Тем самым все доказано.

Согласно (7) каждый элемент а кольца о представляется единственным образом в виде суммы

В равенстве (9) можно выделить одно слагаемое и вместо (9) написать

Элемент называется -компонентой элемента а. Отображение является операторным гомоморфизмом, ядро которого равно в точности Два элемента тогда и только тогда сравнимы по когда совпадают их -компоненты.

Элемент кольца с со свойствами называется идемпотентным.

Теорема 12. В обозначениях и при предположениях теоремы 11 выполняются следующие утверждения.

A. Каждый идеал порождается некоторым идемпотентным элементом

Б. Элементы аннулируют друг друга:

B. -компонента произвольного элемента а получается умножением элемента а на

Г. Сумма

является единицей кольца с.

Доказательство. Так как идеал модулярен, существует элемент кольца с со свойством

Разложим теперь элементы в соответствии с (10):

Отсюда для получается разложение:

Из сравнения (14) следует, что имеют одни и те же -компоненты. Согласно (16) это означает, что

Тем самым доказано (12). Если а пробегает кольцо то а, пробегает весь идеал поэтому

Положим в тогда получится, что

Положим в получим

Тем самым доказаны утверждения Если в обозначениях (13) положить

то в силу (17) получится равенство

т. е. правая единица кольца о. Таким образом, остается доказать, что является и левой единицей.

Элементы а образуют правый идеал Для произвольного имеет место равенство поэтому

В частности,

Таким образом, нильидеал и в силу теоремы 6 он содержится в радикале, а потому равен нулю. Тем самым для всех элементов а имеет место равенство

т. е. левая единица.

Кольцо, являющееся вполне приводимым как левый модуль, т. е. представимое прямой суммой простых левых идеалов, называется вполне приводимым слева. Теоремы 11 и 12 мы можем теперь объединить в следующей формулировке:

Любое полупростое кольцо с условием минимальности для левых идеалов является вполне приводимым слева и обладает единицей.

Эта теорема имеет обращение:

Теорема 13. Любое вполне приводимое слева кольцо с правой единицей является полупростым и удовлетворяет условию минимальности для левых идеалов.

Доказательство. Пусть

— разложение кольца о на простые левые идеалы и пусть сумма всех за исключением Тогда и, следовательно, максимальный идеал. Если правая единица кольца о, то для всех а и, следовательно, — модулярный идеал. В силу § 92 идеал является пересечением идеалов а потому о полупросто.

Согласно § 53 кольцо о обладает композиционным рядом длины . В силу § 51 любой левый идеал 1 можно включить в некоторый композиционный ряд. Участок этого композиционного ряда от 1 до имеет длину число называется длиной идеала 1. Любой собственный подидеал V идеала 1 имеет меньшую длину, потому что и и можно включить в некоторый композиционный ряд. В каждом (непустом) множестве левых идеалов существует левый идеал наименьшей длины. Он является минимальным в данном множестве, так как любой идеал собственным образом в нем содержащийся, имел бы меньшую длину. Следовательно, для левых идеалов кольца о выполнено условие минимальности.