Глава шестая. ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ

Цель этой главы — получить первые сведения о строении полей, об их простейших подполях и расширениях. Некоторые из проводимых здесь исследований относятся и к произвольным телам.

§ 37. Подтело. Простое тело

Пусть 2 — произвольное тело.

Если подмножество А в 2 вновь является телом, то его называют подтелом тела 2. Для этого необходимо и достаточно, чтобы было, во-первых, подкольцом (т. е. вместе с содержало во-вторых, содержало единичный элемент, а также вместе с каждым обратный к нему элемент Вместо этого можно также потребовать, чтобы А содержало хотя бы один ненулевой элемент и вместе с содержало также

Очевидно,

Пересечение любого множества подтел тела 2 вновь является подтелом в 2.

Простым телом называется такое тело, в котором нет собственных подтел. Ниже мы увидим, что все простые тела коммутативны.

В каждом теле 2 существует и притом только одно простое тело.

Доказательство. Пересечение всех подтел в 2 является телом, которое, очевидно, не имеет собственных подтел.

Если бы существовали два простых тела в 2, то их пересечение было бы вновь подтелом в каждом из них, а потому совпадало с каждым из них; следовательно, эти два тела не были бы различны.

Типы простых тел. Пусть простое тело, содержащееся в теле 2. Оно содержит нуль и единичный элемент а потому и целые кратные этого элемента:

Сложение и умножение элементов осуществляется по правилам:

Следовательно, целочисленные кратные составляют некоторое коммутативное кольцо Далее, отображение задает некоторое гомоморфное отображение кольца целых чисел на кольцо Согласно теореме о гомоморфизме (§ 15) кольцо изоморфно кольцу классов вычетов где идеал, состоящий из тех целых чисел которые отображаются в нуль, т. е. дают равенство

Так как кольцо не содержит делителей нуля, кольцо классов вычетов тоже не содержит делителей нуля; следовательно, идеал должен быть простым. Далее, идеал не может быть единичным, потому что иначе выполнялось бы равенство 1-е Следовательно, есть только две возможности:

1. , где простое число. В этом случае является наименьшим положительным числом со свойством Таким образом,

Кольцо является полем. Следовательно, кольцо — поле, являющееся по построению простым телом. В этом случае простое тело изоморфно кольцу классов вычетов кольца целых чисел по некоторому простому идеалу, на элементы распространяются те же правила действий, что и на классы вычетов целых чисел по модулю

Тогда гомоморфизм является изоморфизмом. Кратные попарно различны: из следует, что . В этом случае кольцо не является телом, потому что таковым не является кольцо целых чисел. Простое тело должно содержать не только элементы из в нем должны быть еще отношения этих элементов. Из § 13 мы знаем, что изоморфные целостные кольца имеют изоморфные поля частных, так что в этом случае простое тело изоморфно полю рациональных чисел.

Таким образом, строение содержащегося в 2 простого тела полностью определяется заданием числа или числа 0, порождающего идеал (Идеал состоит, как уже было сказано, из целых чисел со свойством Число или соответственно число называется характеристикой тела 2 или простого поля

Все обычные числовые и функциональные тела, содержащие поле рациональных чисел, имеют характеристику нуль.

Определение характеристики немедленно приводит к следующей теореме:

Пусть — произвольный элемент тела — характеристика тела 2. Тогда из следует, что и наоборот.

Доказательство. Умножим равенство на тогда и отсюда, по определению характеристики, Вывод является обратимым.

Точно так же доказывается, что из следует

Отметим одно важное правило: В полях характеристики имеют место равенства

Доказательство. Имеет место теорема о биноме (§ 11, задача 5):

Если , то

так как числитель содержит множитель который не может быть сокращен. Остаются, таким образом, лишь слагаемые

Положим здесь тогда

чем и доказываются оба утверждения.

(см. скан)