§ 107. Следы и характеры

Следом элемента а в представлении 2) — обозначение

— называется след матрицы А, которую представление сопоставляет элементу а. След при фиксированном рассматриваемый как функция от а, называется также следом представления

В силу соотношения

эквивалентные представления имеют равные следы.

Следы являются линейными функциями, т. е. справедливы равенства:

Следы абсолютно неприводимых представлений (или, что то же самое, следы неприводимых представлений над алгебраически замкнутым полем) называются характерами Характер элемента а в неприводимом представлении будет обозначаться через

Когда речь идет о фиксированном представлении, индекс будет, как правило, опускаться.

При любом абсолютно неприводимом представлении степени элементы центра представляются в соответствии с § 106 диагональными матрицами где некоторый гомоморфизм центра в поле След матрицы задается равенством

В частности, единичный элемент кольца о представляется единичной матрицей след которой равен

В дальнейшем мы предполагаем, что степень абсолютно неприводимых представлений не делится на характеристику поля Тогда (1) можно разделить на и получить

Так гомоморфизмы центра описываются с помощью характеров.

Теорема. Любое вполне приводимое представление алгебры о над полем характеристики О однозначно с точностью до эквивалентности определяется следами представляемых матриц.

Доказательство. Если — радикал кольца о, то любое вполне приводимое представление алгебры о совпадает с некоторым вполне приводимым представлением факторалгебры По условию, следы матриц, представляющих элементы алгебры известны. Пусть

единицы в кольцах соответственно. Тогда в неприводимом представлении элемент представляется -строчной единичной матрицей; тем самым соответствующий след равен

и одновременно

Далее, вполне приводимое представление известно, как только известно, сколько раз в него входит каждое неприводимое представление Если, скажем, представление входит раз, то все рассматриваемое представление состоит из блоков блоков След элемента в этом представлении равен тогда

Из (3) можно вычислить параметры как только известны следы Теорема доказана.

Замечание. Следы всех элементов кольца с» становятся известными, как только известны следы базисных элементов алгебры с. Таким образом, если, например, о — групповое кольцо некоторой конечной группы, то нужно лишь знать следы элементов группы — и тогда представление задано. Если базисные элементы и их следы при неприводимых представлениях, то для любого представления имеют место равенства:

Согласно доказанной выше теореме этими равенствами числа определяются однозначно. Равенства (4) дают численный метод

разложения вполне приводимого представления на неприводимые составляющие посредством вычисления следов. При этом должны быть заранее заданы характеры неприводимых представлений.