Глава девятнадцатая. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Вершиной классической теории алгебраических функций над полем комплексных чисел является теорема Римана — Роха. Имеются теоретико-функциональные, геометрические и алгебраические доказательства этой теоремы. Красивое теоретико-функциональное доказательство с использованием геометрических идей было найдено Жорданом (Jordan С.). Cours danalyse, II, гл. VIII. Среди геометрических методов доказательства особенно выделяется metodo rapido Севери 1). Чисто алгебраическое доказательство Дедекинда и Вебера в J. reine und angew. Math., 1882, 92 было упрощено Эмми Нётер, обобщившей его на произвольные совершенные поля констант. Для произвольных полей констант теорему Римана —Роха впервые доказал Шмидт (Schmidt F. К.).-Math. Z., 1936, 41. Одно простое доказательство теоремы принадлежит Андре Вейлю (Weil A.).- J. reine und angew. Math., 1938, 179, методу которого мы здесь следуем.

§ 149. Разложения в ряды по степеням униформизирующих

Пусть К — поле алгебраических функций одной переменной, т. е. некоторое конечное расширение поля рациональных функций Выбор независимой переменной х совершенно произволен: вместо можно взять любой трансцендентный над А элемент. Нас интересуют лишь инвариантные, т. е. не зависящие от выбора х, свойства поля функций.

Элементы из К, являющиеся алгебраическими над А, называются константами. Они составляют поле констант А. Поле А алгебраически замкнуто в К, т. е. все элементы из К, алгебраические над принадлежат А.

Исходным понятием современной теории алгебраических функций является понятие нормирования. Так же, как и в § 147, здесь рассматриваются лишь такие нормирования поля функций К, относительно которых все константы с из А, отличные от нуля, имеют значение Как и в § 147, сразу же легко проверить, что все эти нормирования являются неархимедовыми.

По-прежнему мы будем записывать их в показательной форме:

Следовательно, для всех из

(см. скан)

Под плейсом поля К мы подразумеваем некоторый класс эквивалентных нормирований. Основанием для такого названия служат рассмотрения, проведенные в § 147 для поля рациональных функций с полем комплексных чисел в качестве поля констант. Если считать комплексную плоскость замкнутой до сферы с помощью добавленной точки то каждой точке сферы или соответствует ровно один класс эквивалентных нормирований, причем таким способом в § 147 были получены все нормирования поля рациональных функций

Для поля алгебраических функций над полем комплексных чисел можно осуществить в некотором смысле аналогичные конструкции, рассмотрев риманову поверхность заданного поля функций. В § 141 уже было показано, что каждой точке этой поверхности соответствует класс эквивалентных нормирований поля функций К. В этом случае можно также доказать, что таким способом получаются все нормирования, относительно которых константы с имеют значение

В последующем теория плейсов и униформизирующих будет строиться чисто алгебраически, без использования понятия римановой поверхности. Между тем всякий раз, когда речь будет заходить о плейсе, читатель может мыслить себе точку и а римановой поверхности.

Согласно § 141 каждому плейсу, т. е. каждому классу эквивалентных нормирований для функций К, соответствует кольцо нормирования 3 и идеал нормирования состоящий из всех элементов поля К, для которых Согласно лемме 1

§ 148 два нормирования, соответствующие одному и тому же идеалу эквивалентны. Тем самым каждому идеалу нормирования соответствует один-единственный плейс. В дальнейшем мы будем обозначать плейс той же буквой у, что и соответствующий ему идеал нормирования.

Поле К по условию является конечным расширением поля рациональных функций Следовательно, можно получить все нормирования поля К, отыскав сначала, следуя § 147, все нормирования поля а затем продолжив эти нормирования в соответствии с § 145 на для осуществления последней операции нужно - вложить поле К всевозможными способами в некоторое поле разложения А того или иного многочлена над полным полем Показательное нормирование поля К можно сначала продолжить до такого же нормирования поля а затем, в соответствии с § 144, перейти совершенно однозначным образом к нормированию поля при этом для каждого элемента из А имеет место равенство

или, если вернуться к показательным нормированиям

где степень поля А над полем Для заданного нормирования существует только конечное число возможностей продолжения до В классической теории этому соответствует тот факт, что над одной точкой числовой сферы расположено лишь конечное число точек римановой поверхности поля функций К.

Согласно § 147 все нормирования поля дискретны, т. е. существует наименьшее положительное значение до", на которое нацело делятся все остальные значения Поэтому и нормирования поля дискретны.

Подобно тому как это делалось раньше, мы нормируем нормирования потребовав, чтобы наименьшее положительное значение было равно 1. При этом все окажутся целыми числами. Нормированное таким образом нормирование зависит только от плейса и будет обозначаться через или просто через Для каждого плейса существует некоторая униформизирующая элемент, для которого Целое число называется порядком функции относительно Если оно равно положительному числу то говорят, что корень порядка или -кратный корень функции Если порядок — отрицательное число — то плейс называется полюсом порядка — или -кратным полюсом функции

Кольцо классов вычетов согласно § 141, является полем — полем классов вычетов нормирования. Оно содержит поле тех классов вычетов, которые представляются константами из Так как изоморфны, то можно отождествить и рассматривать 3 как расширение поля Поле констант вновь оказывается расширением основного поля

Докажем теперь следующее: поле 3 является конечным расширением поля

Доказательство. Так как не принадлежит полю то этот элемент трансцендентен над а потому К алгебраично над Поле К получается из присоединением конечного числа элементов, а потому К имеет некоторую конечную степень над

Предположим, что существует линейно независимых над классов вычетов из Выберем из этих классов вычетов представители принадлежащие 3- Эти элементов должны быть линейно зависимыми над Следовательно, имеет место соотношение

в котором многочлены из среди которых не все равны нулю. Можно предположить, что эти многочлены не все делятся на . По модулю они сравнимы с некоторыми константами поэтому из (2) следует, что

а это противоречит предположению о линейной независимости элементов Поэтому поле 3 имеет над степень, не превосходящую

Тем самым мы доказали, что 3 конечно над Так как является подполем в 3, то конечно над Если поле алгебраически замкнуто,

Начиная с этого места, мы будем рассматривать не в качестве основного поля и поэтому всюду опустим звездочку. Таким образом, мы будем считать, что алгебраически замкнуто в К.

Степень поля над будет в дальнейшем обозначаться через или просто через В классическом случае алгебраически замкнутого поля констант

Рассмотрим разложения элементов данного поля К в степенные ряды по некоторой униформизирующей . Пусть

— базис поля над и пусть произвольный элемент из класса вычетов Если теперь — элемент порядка то элемент порядка 0, принадлежащий, следовательно, кольцу .

При этом

с однозначно определенными коэффициентами из Разность

является элементом из а потому некоторым кратным униформизирующей

Оставшееся в конце выражения слагаемое имеет порядок, больший или равный числу а потому к этому слагаемому можно применить описанную процедуру. После шагов мы получим

где последнее слагаемое имеет порядок, больший или равный числу При остаточный член стремится к нулю, и мы получаем

с однозначно определенными коэффициентами Первый показатель степени может оказаться отрицательным, но всякий раз слагаемые с отрицательным показателем будут входить в ряд (5) лишь конечное число раз.

Описанную процедуру можно модифицировать, взяв вместо произвольный элемент порядка и записав для сравнение вида (3). Тогда вместо (5) получится некоторое разложение в ряд по элементам

символы обозначают произвольно фиксированные функции порядка Коэффициенты из А вновь определены однозначно.

Доказанная в § 148 аппроксимационная теорема может быть теперь переформулирована для функциональных полей:

I. Если для конечного множества плейсов произвольно заданы конечные куски рядов (5), то в поле К всегда существует функция которой разложения в ряд относительно этих плейсов начинаются с заданных частей ряда.

Эту теорему называют теоремой о независимости плейсов.

Далее, имеет место следующая теорема:

II. Любая отличная от константы функция имеет конечное число корней и полюсов.

Доказательство. Каждое нормирование поля К является продолжением некоторого нормирования поля Есть только два плейса поля относительно которых может иметь положительный или отрицательный порядок: плейсы Только для этих плейсов соответствующие нормирования отличны от нуля. Каждое из этих нормирований может быть продолжено лишь конечным числом способов до нормирований поля К. Следовательно, существует только конечное множество плейсов поля К, для которых

Тем же способом показывается, что каждая отличная от константы функция обладает по крайней мере одним корнем и по крайней мере одним полюсом. Действительно, нормирование поля соответствующее плейсу соответственно плейсу может быть продолжено по крайней мере одним способом до нормирования поля К. Отсюда следует

III. Функция не имеющая полюсов, является константой.

Разложения в ряд (5) и (6) имеют место не только для элементов поля К, но и для элементов пополнения Действительно, если такой элемент и его порядок, то элемент нулевого порядка. Но такой элемент может быть как угодно точно, т. е. с точностью до сколь угодно большого порядка, аппроксимирован элементом у из В этом случае достаточна аппроксимация с точностью до порядка 1. Для элемента у вновь имеет место сравнение

Разность должна, следовательно, делиться на , и, так как разность тоже делится на то для суммы этих разностей, т. е. для выражения (4), получается некоторое представление в виде кратного элемента процедуру можно продолжить так же, как это делалось выше.