§ 102. Структурные теоремы о полупростых и простых кольцах

Мы исходим из произвольного кольца о с правой единицей

Будем рассматривать о как модуль, для которого само же о служит областью левых операторов, и попытаемся определить эндоморфизмы этого модуля. Эндоморфизмы являются отображениями модуля с в себя такими, что

Последнее свойство в случае дает

Эндоморфизм совпадает, следовательно, с правым умножением на элемент кольца о. Обратно, каждое такое правое умножение является эндоморфизмом:

Таким образом, эндоморфизмы однозначно соответствуют элементам кольца о. При этом сумме соответствует сумма, а произведению — произведение. Мы получили утверждение:

Если кольцо о с правой единицей рассматривать как левый модуль над самим собой, то кольцо правых эндоморфизмов этого модуля изоморфно кольцу с.

В качестве приложения этой теоремы определим строение полупростых колец с условием минимальности для левых идеалов. Каждое такое кольцо согласно § 98 (теорема 11) является прямой суммой простых левых идеалов

Кольцо эндоморфизмов такой прямой суммы согласно § 101 является прямой суммой полных матричных колец над телами. С другой стороны, согласно § 98 кольцо о обладает единицей. Поэтому кольцо эндоморфизмов изоморфно самому кольцу о. Тем самым получается

Структурная теорема для полупростых колец. Любое полупростое кольцо о с условием минимальности для левых идеалов изоморфно прямой сумме полных матричных колец над телами.

Если кольцо о простое, то оно может быть прямой суммой только одного матричного кольца. Тем самым получается

Структурная теорема для простых колец. Любое простое кольцо с единицей, удовлетворяющее условию минимальности для левых идеалов, изоморфно полному матричному кольцу над некоторым телом К.

Порядок в этом утверждении равен количеству левых идеалов в разложении (1). Так как кольцо о простое, все идеалы попарно изоморфны. Тело К является телом эндоморфизмов одного из левых идеалов

Если, в частности, — простая алгебра над некоторым полем то элементы поля порождают эндоморфизмы левых идалов так что можно вложить в тело эндоморфизмов К. Далее, для каждого эндоморфизма X из К имеет место равенство

и, следовательно, перестановочен с каждым элементом X тела К. Это означает, что содержится в центре тела К. Так как все матричное кольцо имеет конечный ранг над то тело К тоже имеет конечную степень над т. е. К — алгебра с делением над полем Мы получили, таким образом, следующую теорему:

Теорема Веддерберна. Каждая простая алгебра с единицей изоморфна полному матричному кольцу над алгеброй с делением.

Всякий раз, когда в будущем речь зайдет о простой алгебре, будет подразумеваться простая алгебра с единицей, т. е. некоторое полное матричное кольцо над телом К. Кратные единицы будут отождествляться с элементами поля

(см. скан)