§ 169. Топологические векторные пространства

Топологический модуль (или -модуль) это аддитивная абелева -группа. Согласно § 163 топология на определяется некоторой системой окрестностей нуля, удовлетворяющей условиям 1, 2, 3 (§ 163, конец).

Понятия из §§ 166 и 168 переносятся на аддитивные -груп-пы с помощью соответствующего изменения символики. Последовательность называется фундаментальной, если разности для достаточно больших принадлежат каждой окрестности V нуля. Множество А называется малым порядка V, если разности все принадлежат Фильтр, содержащий произвольно малые множества, называется фильтром Коши. Модуль называется сильно полным или просто полным, если в нем сходится каждый фильтр Коши.

Так как для коммутативных групп, в соответствии с § 168, не нужна аксиома полноты, каждый Т-модуль погружается в некоторый полный -модуль

Пусть для задана область операторов обладающая следующим свойством:

для каждого оператора у. Предположим, что непрерывная функция от х. Для этого необходимо и достаточно, чтобы для каждой окрестности существовала окрестность V со свойством

Если фильтр содержит произвольно малые множества А, то и содержит произвольно малые множества у А, т. е. — снова фильтр Коши. Поэтому теория пополнений из § 168 без изменений переносится на -модули с операторами; пополнение имеет в качестве области операторов снова область

Иногда оказывается целесообразным писать вместо В этом случае называют областью правых операторов, правым -модулем.

Вместо (1) в этом случае имеет место равенство

Если - кольцо, то, кроме (2), требуется, чтобы выполнялись следующие соотношения:

При переходе к пополнению и эти свойства остаются верными.

Если некоторое -кольцо, то предполагается, что произведение является непрерывной функцией от х и у. Это свойство тоже переносится на так что полный правый -модуль.

Если некоторое тело и если, кроме уже указанных правил, имеет место

где -единичный элемент тела то называется векторным пространством над Если топологическое тело, то требуется еще и непрерывность как функции от х и у.

Простой пример топологического векторного пространства над топологическим полем дает каноническое -мерное векторное пространство которое определяется как совокупность всех упорядоченных наборов из элементов поля Умножение векторов на элементы из задается равенством

Произвольная базисная окрестность нулевого вектора состоит из всех векторов, все координаты которых принадлежат некоторой базисной окрестности нуля в Аксиомы об окрестностях и непрерывности сложения и умножения оказываются в этом случае выполненными.

Если поле полно, то и полное пространство.

Доказательство. Множество векторов является малым порядка тогда и только тогда, когда множество элементов для каждого является малым порядка Назовем множество элементов -компонентой множества А и обозначим ее через Если теперь задан некоторый фильтр Коши множеств А, то для каждого образуют некоторый фильтр Коши в Если поле полно, то все эти фильтры Коши имеют некоторые пределы Но тогда в для каждого существует множество -компоиента которого лежит в точно так же существует множество -компонента которого лежит в вплоть до Пересечение принадлежит тогда множеству Следовательно, фильтр сходится к пределу