ВВЕДЕНИЕ
Цель книги. «Абстрактное», «формальное» или «аксиоматическое» направление, которому алгебра обязана своим новым подъемом, привело к новым понятиям и результатам в теории групп, теории полей, теории нормирований, теории идеалов и теории алгебр и позволило по-новому взглянуть на внутренние связи в этой области. Главная цель книги — ввести читателя в мир всех этих понятий.
Но если общие понятия и методы выдвигаются на первый план, то в рамках новых построений должны найти место и отдельные результаты, относящиеся к классическому состоянию алгебры.
Распределение материала. Указания читателю. Чтобы достаточно ясно представить общие точки зрения, господствующие в «абстрактной» алгебре, оказалось необходимым изложить с самого начала основы теории групп и элементарной алгебры.
В последнее время появилось множество хороших изложений теории групп, классической алгебры и теории полей, что сделало возможным преподнести эту вводную часть кратко, но без пробелов. Подробное изложение начинающий читатель найдет во многих книгах.
Следующим основным принципом служит требование, согласно которому каждая отдельная часть должна быть, по возможности, понятной сама по себе. Тому, кто хочет познакомиться с общей теорией идеалов или теорией алгебр, не нужно предварительно изучать теорию Галуа, а тот, кто хочет справиться о чем-либо в линейной алгебре, не должен пугаться сложных построений теории идеалов.
По этой причине разбиение на главы осуществлено так, что первые три главы, занимая небольшое место, содержат необходимое в качестве подготовительного материала для всех последующих глав. Основные понятия таковы: 1) множества; 2) группы; 3) кольца,
идеалы и поля. Дальнейшие главы первого тома посвящены главным образом теории полей и опираются в первую очередь на основополагающую работу Штейница (Steinitz) из Crelles Journal (1910), 137. Во втором томе изложены, по возможности независимо друг от друга, разделы из теории модулей, колец и идеалов с приложениями к алгебраическим функциям, элементарным делителям, алгебрам и представлениям групп.
За пределами рассмотрений оказалось необходимым оставить теорию абелевых интегралов и непрерывных групп, потому что для полноценного изложения они требуют выходящих за рамки нашего курса понятий и методов; то же относится к основанной на них теории инвариантов.
Дальнейшая информация о строении книги содержится в оглавлении и приведенной выше схеме зависимости глав, из которой совершенно точно усматривается, сколько предшествующих глав необходимо для каждой конкретной главы.
Появляющиеся по ходу изложения задачи подобраны в основном так, чтобы можно было проверить, оказался ли понятым предшествующий текст. Они, кроме того, содержат примеры и дополнения, которые используются в дальнейшем. Задачи, требующие искусства для своего решения, как правило, не используются в последующем и формулируются в квадратных скобках.
Источники. Эта книга возникла отчасти из записей лекций, а именно были использованы:
курс лекций Э. Артина по алгебре (Гамбург, летний семестр 1926 года);
семинар по теории идеалов, руководимый Э. Артином, В. Бляшке, О. Шрайером и автором (Гамбург, зимний семестр 1926/27);
два курса Э. Нётер по теории групп и алгебр (Гёттинген, зимний семестр 1924/25, зимний семестр 1927/28).
Многие новые доказательства и варианты доказательств, встречающиеся в этой книге, даже там, где нет явных ссылок, имеют своим источником упомянутые лекции и семинар.
