§ 106. Представления центра
Центр алгебры о при любом неприводимом представлении должен отображаться на такие матрицы, которые перестановочны со всеми матрицами представления. Если основное поле алгебраически замкнуто и кольцо представляющих матриц — полное матричное кольцо, то матрицы центра состоят лишь из кратных единичной матрицы 
следовательно, центр алгебры о в этом случае представляется матрицами вида 
То же самое верно и для абсолютно неприводимых представлений, потому что в этом случае можно перейти к алгебраически замкнутому основному полю, не утрачивая неприводимости. Итак: при любом абсолютно неприводимом представлении алгебры о элементы ее центра представляются кратными единичной матрицы.
Если кольцо о коммутативно, и, следовательно, является своим собственным центром, то все матрицы абсолютно неприводимого представления имеют вид 
Из неприводимости следует, что представления должны иметь первую степень. Итак: абсолютно неприводимые представления коммутативной алгебры имеют степень 1.
Любое представление первой степени алгебры о — это гомоморфное отображение из о в тело представления К- Если К коммутативно, то два эквивалентных представления первой степени просто равны, потому что если 
матрица представления и 
элемент поля К, то
Отсюда следует утверждение: число неэквивалентных представлений первой степени коммутативной алгебры о в поле К равно числу различных гомоморфизмов из о в К.
Вернемся к некоммутативным алгебрам и предположим, что алгебра о полупроста. Тогда она является прямой суммой простых алгебр:
и центр 3 алгебры о представляется в виде суммы того же числа полей:
Число неэквивалентных неприводимых представлений кольца о и равным образом его центра 3 равно числу 
двусторонних компонент в о или в 3. потому что каждое такое представление 
кольца о определяется некоторым левым идеалом в 
а каждое неприводимое представление 
центра 3 определяется полем 
Итак: существует столько же неэквивалентных неприводимых представлений кольца 
сколько неприводимых неэквивалентных представлений центра 3, и каждому неприводимому представлению 
кольца о, при котором все 
кроме 
переходят в нуль, можно сопоставить представление IX центра 3, при котором все 
кроме 
переходят в нуль.
В частности, если о — сумма полных матричных колец над 
то поля 
имеют ранг 1 и изоморфны 
тем самым в данном случае число 
неприводимых представлений кольца о равно рангу центра 3- Связь между неприводимыми представлениями 
кольца о и неприводимыми представлениями (первой степени) центра 3 в рассматриваемом случае совершенно проста. Именно, представление 
переводит каждый элемент центра 
в матрицу вида 
где 
единичная матрица 
порядка. Каждому элементу 
таким образом сопоставляется (при фиксированном 
некоторый элемент а, и можно записать:
Функция 
определяет гомоморфизм центра, т. е.
При этом гомоморфизме поля 
за исключением 
представляются нулем, т. е. гомоморфизм 
— это не что иное, как обозначавшееся раньше через 
представление первой степени центра.
Представление 
задано всякий раз, когда задан 
-базис модуля 
а в качестве последнего можно взять единичный элемент 
поля 
Если каждый элемент 
из 
записать в виде
то получится
тем самым 
будет представляющей матрицей, т. е.
Вместо (1) мы можем теперь писать
Иначе говоря: коэффициенты 
разложения элемента 
центра по идемпотентным элементам 
того же центра задают гомоморфизмы или представления первой степени этого центра.
(см. скан)
