Глава восемнадцатая. НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ

Указанная в § 78 конструкция расширения для наперед заданного упорядоченного поля К использует не упорядоченность на К, а лишь существование абсолютной величины (модуля) произвольного элемента поля а. Поэтому естественно попытаться распространить эту конструкцию на поля, не наделенные упорядочением, для которых, однако, существует функция со свойствами абсолютной величины.

§ 141. Нормирования

Поле К называется нормированным, если для каждого элемента а из К определено значение функции (норма элемента а) со следующими свойствами:

1) - элемент некоторого упорядоченного поля

Из 2) и 3) немедленно следует, что

Из 4) следует, что если то

Но вместе с тем и

Поэтому

Неравенство 4) имеет место и тогда, когда заменяется на

С помощью индукции по неравенство 4) легко переносится на суммы слагаемых.

Каждое поле обладает «тривиальным» нормированием: для . В дальнейшем мы никогда не будем его рассматривать.

Если поле К упорядочено, то можно положить Однако существуют и другие типы нормирований. Пусть, например,

- поле рациональных чисел. Если фиксированное простое число, то каждое рациональное число можно записать в виде

где числа не делятся на положим

тогда на будет определено некоторое нормирование. Установить условия 1) — 3) легко. Вместо 4) можно доказать даже более сильное неравенство

Действительно, имеем

и если, скажем, т. е. то

и, следовательно,

так что

Это — -адическое нормирование поля

Конструкцию -адического нормирования легко обобщить. Пусть — произвольное целостное кольцо, К — его поле частных и — простой идеал кольца со следующими свойствами:

А. Все степени попарно различны и их пересечение равно нулю.

Б. Если элемент а в кольце о делится в точности на т. е. делится на но не делится на а элемент делится в точности на то делится в точности на

При этом обозначает совокупность всевозможных сумм где элементы из . В частности, Положим теперь если элемент из делится в точности на где произвольное вещественное число, большее 1. Тогда определено для элементов кольца и обладает свойствами 1) — 4).

Но если нормирование определено для элементов целостного кольца, то с помощью равенства

оно легко распространяется на элементы поля частных. Определение оказывается единственно возможным, потому что из

следует, что

Далее, норма также обладает свойствами 1) —4). Первые три свойства просто очевидны. Свойство 4) устанавливается так:

Этим способом из нормирования, определенного в целостном колеце с помощью простого идеала у, получается нормирование поля частных К. Это нормирование называется -адическим нормированием поля К.

Свойства выполнены, в частности, тогда, когда является произвольным простым идеалом в целостном колеце , отличным от о и от нуля и удовлетворяющим трем аксиомам из § 137. Следовательно, каждому такому простому идеалу соответствует -адическое нормирование поля частных К. В частности, это имеет место для простых идеалов в кольце целых элементов любого поля алгебраических чисел. Отсюда видно, насколько тесна связь между классической теорией идеалов и теорией нормирований.

Псдобно тому, как это было сделано в § 140, можно проводить рассуждения в более общем виде, исходя из целостных колец , удовлетворяющих лишь аксиомам I и III. В этом случае ограничиваются высокими простыми идеалами в смысле § 140 и строят их символические степени

в смысле § 120. Тогда оказываются выполненными свойства, аналогичные свойствам А и Б:

А. Все степени попарно различны и их пересечение является нулевым идеалом.

Б. Если элемент а делится в точности на а элемент точности на то делится в точности на

Далее, можно, как и раньше, положить и для каждого элемента а, который делится в точности на

Таким способом вновь получится -адическое нормирование, соответствующее заданному высокому простому идеалу

В кольце многочленов идеал

также обладает свойствами Соответствующая норма имеет вид где степень слагаемых наинизшей степени в данном многочлене

(см. скан)

Важнейшие исследования о нормированных полях относятся к случаю, когда поле значений архимедово. Согласно задаче 2 из § 78 поле можно вложить в поле вещественных чисел. Поэтому мы будем отныне считать, что значения являются вещественными числами. Предполагаются известными (натуральные) логарифмы вещественных чисел и их простейшие свойства, а также степени положительных чисел а с произвольным вещественным показателем.

Мы будем, кроме того, пользоваться следующей леммой о вещественных числах:

Если — положительные вещественные числа и

для каждого натурального числа то .

Доказательство. Предположим, что Тогда для имеют место соотношения но для достаточно больших обязательно

откуда

что противоречит предположению.

Вещественнозначное нормирование поля К называется неархимедовым, если для всех натуральных кратных единицы выполняется условие

Например, -адическое нормирование поля неархимедово. То, что поле значений в этом случае архимедово, не должно вызывать путаницы.

Нормирование поля К тогда и только тогда является неархимедовым, когда вместо 4) выполнено более сильное неравенство

Доказательство 1. Если 4) имеет место для сумм двух слагаемых, то и для сумм слагаемых легко получить соответствующее неравенство. В частности, для имеем

2. Если неархимедово нормирование, то для имеет место следующее:

где Но отсюда, согласно доказанной лемме, следует, что

т. е. имеет место 4).

В дальнейшем мы будем рассматривать неравенство 4) как определяющий признак неархимедова нормирования и тогда, когда поле значений не есть поле вещественных чисел. Крулль заметил, что областью значений нормирования может служить произвольная упорядоченная абелева группа, поскольку значения нормы лишь перемножаются друг с другом и сравниваются по величине, а сложение не производится.

Часто оказывается полезным следующее замечание, справедливое в отношении всех нормирований, неархимедовых в определенном выше смысле:

Если значения различны, то в 4) имеет место равенство.

Доказательство. Пусть, скажем, Мы должны доказать, что

Предположим противное:

тогда и меньше Это противоречит неравенству

Часто бывает целесообразно (и в литературе это принято) использовать иной способ задания неархимедовых нормирований. Вместо вещественных значений рассматривают показатели Определяющие соотношения для нормирования в терминах показателей выглядят так:

1) для является вещественным числом;

В этом случае говорят о показательном нормировании. Переход к показателям возможен благодаря тому, что ввиду усиленного неравенства 4) не нужно складывать значения Логарифмическое отображение обращает упорядочение и превращает умножение в сложение.

Пример. Пусть элементы поля К — мероморфные функции в некоторой области -плоскости или, более общо, на некоторой римановой поверхности. Фиксируем произвольно точку на римановой поверхности и определим: для функции а равно а, если эта функция в точке обладает нулем порядка; равно нулю, если рассматриваемая функция принимает в данной точке ненулевое значение; если же в данной точке функция имеет полюс порядка а, то значение берется равным — а. Легко видеть, что свойства выполнены. Таким способом каждой точке ставится в соответствие нормирование поля К. Этот пример иллюстрирует значение теории нормирований для теории алгебраических функций одной комплексной переменной.

Среди показательных нормирований различают дискретные и недискретные; первые характеризуются тем, что для каждого из них существует наименьшее положительное которому кратны все остальные значения (см. предыдущий пример), а вторые — тем, что значения могут быть как угодно близки к нулю. Так как целые кратные произвольного значения вновь являются значениями нормирования: в недискретном случае значения лежат в множестве вещественных чисел всюду плотно.

-адическое нормирование рациональных чисел является дискретным; таковы вообще все -адические нормирования.

В показательно нормированном поле К элементы а со свойством образуют некоторое кольцо 3, потому что из следует и Совокупность всех элементов а из К, для которых является простым идеалом в . Действительно, прежде всего, опять-таки из следует следовательно, — некоторый модуль Далее, из т. е. и следует так что идеал. Наконец из т. е. того, что следует, что по крайней мере одно из двух чисел и положительно, т. е. по крайней мере один из элементов делится на поэтому идеал простой.

Кольцо 3 называется кольцом нормирования да. Элементы из 3 называются целыми (относительно нормирования). Говорят, что

элемент а делится на b (относительно нормирования если целый элемент, т. е. если

Элементы а, для которых являются обратимыми в кольце 3. Так как все элементы из 3, не принадлежащие идеалу обратимы, то идеал не имеет делителей в 3. Тем самым, кольцо классов вычетов является полем — полем классов вычетов нормирования. Если поле К имеет характеристику то, очевидно, и поле классов вычетов имеет характеристику Но если К имеет характеристику нуль, то поле классов вычетов может иметь либо нулевую характеристику (случай равных характеристик), либо ненулевую характеристику (случай разных характеристик). Типичные примеры случая разных характеристик доставляют -адические нормирования. Случай равных характеристик получается, например, тогда, когда рассматривается поле рациональных функций от одной переменной и показательное нормирование определяется тем, что его значением на произвольно взятой рациональной функции является разность между степенями знаменателя и числителя, -адические нормирования, которые получаются с помощью идеалов в кольцах многочленов также дают случай равных характеристик.

По поводу дальнейшего развития описанных конструкций вплоть до полной классификации нормирований см. работы Хассе, Шмидта, Тейхмюллера и Витта. По поводу обобщений понятия нормирования см. работы Малера и Крулля.

(см. скан)