§ 56. Транзитивность и примитивность

Группа подстановок некоторого множества называется транзитивной над если некоторый элемент а из с помощью подстановок из этой группы может быть переведен во все элементы х из

Если выполнено это условие, то для любых двух элементов х, у существует подстановка из группы, которая переводит х в у, потому что из

следует, что

Следовательно, в вопросе о транзитивности безразлично, какой исходный элемент выбирается в качестве а.

Если группа не является транзитивной над (интранзи-тивная группа), то множество распадается на области транзитивности, т. е. на такие подмножества, которые группа переводит в себя и на которых она является транзитивной. В основе разбиения на такие подмножества лежит следующее отношение: два элемента из тогда и только тогда включаются в одно подмножество, когда в существует элемент а, переводящий а в

Это отношение, во-первых, рефлексивно, во-вторых, симметрично, в-третьих, транзитивно, потому что:

Следовательно, этим условием определяется разбиение множества на классы.

Если групна транзитивна над и подгруппа, состоящая из элементов группы оставляющих неподвижным элемент а из то каждый левый смежный класс по подгруппе переводит элемент а в однозначно определенный элемент та. Таким образом, левым смежным классам взаимно однозначно соответствуют элементы множества Следовательно, число смежных классов (индекс группы равно числу элементов множества

Группа тех элементов из которые оставляют инвариантными элемент то, задается равенством

Транзитивная группа подстановок некоторого множества называется импримитивной, если разбивается по меньшей мере на два непересекающихся подмножества из которых хотя бы в одном содержится более одного элемента, причем элементы группы переводят каждое в некоторое Множества называются областями импримитивности. Если же разбиение

только что указанного вида невозможно, то группа называется примитивной.

Примеры. Четверная группа Клейна импримитивна с областями импримитивности

(Впрочем, возможны еще два разбиения на области импримитивности.) Наоборот, полная группа подстановок (и, равным образом, знакопеременная группа) на символах обязательно является примитивной, потому что для каждого разложения множества на подмножества, например,

существует подстановка, которая переводит т. е. в множество, имеющее с общие элементы и не совпадающее с ним.

При любом разбиении с описанным выше свойством, в котором, следовательно, группа переставляет множества между собой, для каждого существует подстановка, принадлежащая группе, которая переводит в Действительно, нужно лишь на основе транзитивности найти такую подстановку, которая произвольно взятый элемент из переводит в какой-нибудь элемент из тогда эта подстановка будет переводить в Отсюда, в частности, следует, что множества состоят из одного и того же числа элементов.

Для произвольной транзитивной группы подстановок некоторого множества выполняется следующая теорема:

Пусть — подгруппа, состоящая из тех элементов группы которые оставляют неподвижным некоторый элемент а множества Если группа импримитивна, то существует подгруппа I), отличная от и от для которой

и обратно, если существует подгруппа удовлетворяющая этим включениям, то импримитивна. Группа оставляет неподвижной одну из областей импримитивности а левые смежные классы по I) переводят в те или иные области

Доказательство. Пусть сначала группа импримитивна и — ее разложение на области импримитивности. Пусть а — некоторый элемент области Пусть — подгруппа элементов группы оставляющих инвариантным множество Согласно сделанному выше замечанию группа I) содержит все подстановки из переводящие а в себя или в какой-нибудь другой элемент подмножества отсюда следует, что и Но в группе существует подстановка, которая переводит скажем, в поэтому Если переводит систему то и весь смежный класс переводит

Обратно, пусть -группа, отличная от и от и пусть

Группа распадается на смежные классы и каждый из этих смежных классов распадается на смежные классы Последние смежные классы переводят элемент а в некоторые элементы ста; следовательно, если их собрать в смежные классы то элементы ста составят по меньшей мере два непересекающихся множества каждое из которых состоит по меньшей мере из двух элементов. Множества определяются, таким образом, условием

Каждая новая подстановка а переводит в т. е. опять-таки в некоторое множество того же вида, чем и доказывается импримитивность группы Обозначим через множество, получающееся в соответствии с (1) при тогда (в силу ) оставляет область импримитивности неподвижной, а смежные классы переводят в остальные области импримитивности (в силу ).

(см. скан)

Замечание. Число переставляемых объектов называется степенью группы подстановок.