§ 83. Суммы квадратов
Выясним теперь следующий вопрос: какие элементы поля К представляются в виде суммы квадратов элементов из 
При этом можно сразу ограничиться формально вещественными полями. Действительно, если поле К не является формально вещественным, то —1 представляется в виде суммы квадратов:
Если К имеет характеристику, отличную от 2, то отсюда следует, что для произвольного элемента у из К имеет место разложение на 
квадратов:
Если же К имеет характеристику 2, то любая сумма квадратов сама является квадратом:
Легко проверить, что сумма и произведение сумм квадратов вновь являются суммами квадратов. Однако и частное двух сумм квадратов является суммой квадратов:
Докажем для счетных формально вещественных полей К следующую теорему:
Если элемент у поля К не является суммой квадратов, то существует упорядочение поля К, в котором у является отрицательным элементом.
Доказательство. Пусть у не является суммой квадратов.
Покажем прежде всего, что поле 
формально вещественно. Если 
принадлежит К, то утверждение очевидно. В противном случае будем рассуждать так. Если
то точно так же, как это было получено в теореме 1 (§ 81), устанавливается, что
т. е. элемент у оказывается суммой квадратов, что противоречит условию. Поэтому поле 
формально вещественно. Если теперь 
упорядочено в соответствии с теоремой 76 (§ 82), то элемент —у, являясь квадратом, должен быть положительным. Утверждение доказано.
В применении к формально вещественным полям алгебраических чисел (если принять во внимание, что согласно § 82 все возможные упорядочения такого поля могут быть получены с помощью изоморфных отображений на сопряженные поля вещественных чисел) это дает следующую теорему:
Элемент у поля К алгебраических чисел является суммой квадратов тогда и только тогда, когда при всех изоморфизмах, переводящих К в сопряженное с ним вещественное поле, число у не переходит в отрицательное число.
Эта теорема сохраняет силу и тогда, когда поле К не является формально вещественным, потому что в этом случае все числа из К являются суммами квадратов, изоморфизмов же указанного типа вообще не существует.
Элементы поля алгебраических чисел К, которые при любом изоморфизме на сопряженное с К поле вещественных чисел оказываются положительными, называются вполне положительными в К. Если у поля К нет вещественных сопряженных полей, то каждое число из К может быть названо вполне положительным. Понятие вполне положительного числа может быть перенесено на произвольное поле К, если вполне положительными элементами из К назвать такие, которые оказываются положительными при всех упорядочениях на К. (В частности, если К не обладает никаким упорядочением, т. е. не является формально вещественным, то любой его элемент вполне положителен.) Итак, результаты
этого параграфа можно резюмировать следующим образом: в произвольном поле, характеристика которого отлична от 2, каждый вполне положительный элемент представляется в виде суммы квадратов.
Литература к одиннадцатой главе
Дальнейшие сведения о числе квадратов, достаточном для представления вполне положительных чисел числового поля, можно найти в работе Ландау ILandau Е.). Ober die Zerlegung total positiver Zahlen in Quadrate. - Gottingen Nachr., 1919, S. 392. Случай функциональных полей описан в работах: Гильберт (Hilbert D.). Ober die Darstellung definiter Formen als Summen von Formenquadraten. - Math. Ann., 1888, 32, S. 342 - 350; Apтин (Artin E.). Ober die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate. - Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1926, 5, S. 100-115. По поводу основной теоремы алгебры см. ван дер Корпут (van der Corput G.). -Colloque international dalgebre, Paris, 1949.
