§ 155. Сепарабельная порождаемость функциональных полей

Полем алгебраических функций от переменных называется любое конечное расширение К поля рациональных функций от алгебраически независимых переменных

Если поле К порождается над полем элементами то

где все алгебраические функции независимых переменных

Для такого сорта расширений имеет место

Теорема о сепарабельной порождаемости. Если поле констант А совершенно, то элементы можно перенумеровать так, что все станут сепарабельными алгебраическими функциями от независимых переменных

Доказательство. Проведем индукцию по при фиксированном Случай тривиален. Пусть поэтому и утверждение считается верным для поля В этом случае мы можем предположить, что сепарабельные функции от

Элемент во всяком случае является алгебраической функцией от и поэтому удовлетворяет некоторому уравнению

которое может предполагаться целым рациональным по всем переменным Если элементы поля заменить на переменные то как многочлен от можно считать неразложимым. Если разложим как многочлен от то один из множителей должен содержать только Разумеется такой множитель можно всегда удалить из уравнения (1) Следовательно, можно предполагать, что неразложим и как многочлен от

Если элемент сепарабелен над то доказывать нечего. Если же несепарабелен, то характеристика рассматриваемого поля — некоторое простое число и многочлен содержит лишь такие степени переменной которые могуг быть записаны как степени элемента Если бы то же самое было верным и относительно входящих в многочлен элементов то выполнялось бы равенство

Но в совершенном поле А каждый элемент является некоторой -степенью:

Следовательно, оказывалось бы выполненным равенство

Это, однако, невозможно, потому что неразложимый многочлен. Таким образом, некоторая из переменных скажем должна входить в данный многочлен в такой степени, которая не делится на

Из (1) теперь следует, что — некоторая сепарабельная алгебраическая функция от Все зависят от а также от Так как степень трансцендентности поля равна элементы независимы. Поле сепарабельно над полем а последнее сепарабельно над так что все сепарабельны над Если теперь изменить нумерацию элементов переставив номера то получится требуемое.

Для несовершенных полей А. Вейль установил необходимое и достаточное условие сепарабельной порождаемости. См. по этому поводу мою работу Uber Weils Neubegriindung der algebraischen Geometne. - Abh. Math. Sera. Univ. Hamburg, 1958, 22, S. 158.