§ 121. Теория взаимно простых идеалов

В дальнейшем будет предполагаться, что в кольце о существует единица. Эта единица порождает единичный идеал с:

Два идеала называются взаимно простыми, если у них нет общих деталей, кроме с, т. е. если их наибольший общий делитель равен о:

Это означает, что каждый элемент из о представляется в виде суммы некоторого элемента из а и некоторого элемента из 0.

Необходимым и достаточным для этого является условие представимости единицы (образующей идеала о) в виде суммы

. В этом случае

Если два примарных идеала взаимно просты, то ассоциированные простые идеалы тем более взаимно просты (каждый общий делитель и является общим делителем и идеалов Однако верно и обратное: из взаимной простоты идеалов следует взаимная простота идеалов . В самом деле, из

при возведении в степень следует, что

выберем настолько большими, чтобы лежало в лежало в тогда каждое слагаемое лежит либо в либо в следовательно,

Если два идеала взаимно просты, то они являются простыми друг относительно друга.

Доказательство. Пусть скажем, Достаточно показать, что Если х принадлежит то следовательно,

это означает, что принадлежит что и требовалось доказать.

Обращение неверно; вот пример: в кольце многочленов К [х, у] идеалы просты друг относительно друга, но не взаимно просты:

Если взаимно просты, то, как и в теории чисел, сравнения по модулям этих идеалов можно решать одновременно. Пусть даны два сравнения:

Будем считать, что каждое из сравнений разрешимо. Если решение первого сравнения, а второго, то можно построить элемент удовлетворяющий обоим сравнениям, следующим образом. С помощью построенных ранее элементов удовлетворяющих соотношениям (1) и (2), составим

Тогда т. е. решение обоих заданных сравнений.

Для двух взаимно простых идеалов наименьшим общим кратным служит их произведение.

Доказательство. В § 116 было доказано, что

Если и существует единица, то второе соотношение упрощается до

следовательно,

Чтобы сформулировать эту теорему более чем для двух взаимно простых идеалов, докажем предварительно следующую лемму:

Если идеал а взаимно прост с то а взаимно прост с произведением и пересечением

Доказательство. Из

следует, что

где вновь некоторый элемент из а. Отсюда следует, что

и, тем более,

Тем самым доказаны оба утверждения.

Если теперь идеалы попарно взаимно просты и уже доказано равенство

то

следовательно, по индукции получается

Теорема. Наименьшее общее кратное конечного множества попарно взаимно простых идеалов равно произведению зтих идеалов.

Сделанное раньше замечание о решении сравнений по модулям взаимно простых идеалов остается в силе и для нескольких попарно взаимно простых идеалов:

Если идеалы попарно взаимно просты, то существует элемент удовлетворяющий сравнениям

Доказательство проводится по индукции. Допустим, что уже получен элемент для которого

и найдем из условий

что всегда возможно, так как идеал взаимно прост с идеалом

Если в о имеет место теорема о цепях делителей, то каждый идеал можно представить в виде пересечения попарно взаимно простых идеалов, ни один из которых уже не представляется как пересечение взаимно простых собственных делителей.

Для доказательства найдем в каком-нибудь несократимом представлении данного идеала примарньтми идеалами

все те примарные идеалы, которые с одним, произвольно фиксированным среди них идеалом соединяются цепью попарно не взаимно простых примерных идеалов, и составим их

пересечение Из оставшихся идеалов точно так же построим последовательно идеалы Представление

обладает нужными свойствами. Действительно, во-первых, и при взаимно просты, так как компоненты идеала взаимно просты с компонентами идеала Во-вторых, невозможно, скажем, идеал представить как пересечение двух взаимно простых собственных делителей. Если бы такое представление было возможно:

то каждый простой идеал, ассоциированный с обязательно был бы делителем идеала а потому делителем идеала или идеала с; так как все эти простые идеалы связаны с одним из них некоторой цепью попарно не взаимно простых идеалов (являющихся простыми), то из того, что один из них делит следует, что все они должны делить и ни один из них не должен делить с. Ассоциированные примарные компоненты делят следовательно, они делят и (так как их простые идеалы не делят ). Отсюда следует, что пересечение является некоторым делителем идеала

что противоречит предположению, согласно которому является собственным делителем идеала

Вместо представления (3) в соответствии с нашими теоремами можно записать следующее представление произведением:

(см. скан)