§ 163. Окрестности единицы

Если задан базис окрестностей единицы то тем самым задаются все окрестности этого элемента: таковыми будут множества которые содержат по крайней мере одну из базисных окрестностей. Но тогда оказываются известными окрестности и других точек, потому что если окрестность единицы то окрестность точки а и все окрестности точки а могут быть представлены в таком виде. Можно называть «сдвинутой на а окрестностью точки

Таким образом, мы видим, что топология -группы полностью определяется заданием базиса окрестностей единицы Будем обозначать окрестности такого базиса через

Какими свойствами должны обладать указанные выше множества чтобы группа с окрестностями была топологической?

Следующие свойства являются во всяком случае необходимыми:

Е1. Каждое множество содержит (следует из § 159).

Е2. Для каждого существует V такое, что содержится в U.

Е3. Для каждого существует V такое, что содержится в (следует из § 162).

Е4. Каждое сопряженное множество содержит некоторое множество Каждое пересечение содержит некоторое (следует из § 159).

Доказательство В силу для V существуют некоторое V и некоторое такие, что содержится в окрестности Согласно пересечение содержит

Доказательство Так как непрерывная функция элемента х, то для существует окрестность V такая, что содержится в так что V содержится в

Пусть теперь наоборот — задана система множеств в группе которые удовлетворяют требованиям Построим сдвиги и будем считать их базисом окрестностей точки а. Очевидно, эти базисные окрестности обладают свойствами (§ 159). Покажем, что они обладают и свойством

Пусть, таким образом, Согласно существует множество V такое, что содержится в Если теперь точка из то содержится в а потому и в Тем самым доказано.

Теперь мы должны доказать (§ 162).

Пусть дана произвольная окрестность Согласно существует такое множество V, что принадлежит Согласно существует некоторое Поэтому

чем и доказывается

Пусть дана произвольная окрестность Существует такое множество V, что принадлежит Кроме того, существует множество принадлежащее

Имеет место включение так что

чем и доказывается

Следовательно, для того чтобы превратить группу в -группу, нужно задать базис окрестностей единицы и доказать

Свойства могут быть объединены в одно:

Е. Для каждого множества существует V, удовлетворяющее соотношению

В случае абелевых групп свойство излишне. Если группа записывается аддитивно, то вводятся окрестности нуля и три следующих требования:

1. Каждое множество содержит нуль.

2. Для каждого существует V, удовлетворяющее условию

3. Каждое пересечение содержит некоторую окрестность

Для того чтобы -группа, определенная с помощью окрестностей единицы, была Тггруппой, должна выполняться следующая аксиома отделимости:

Е. Для каждого элемента существует окрестность не содержащая а.

Требования можно объединить в одно:

Пересечение всех окрестностей V состоит из одной лишь единицы.

Соответствующее требование для аддитивных групп:

Пересечение всех окрестностей содержит только нуль.

Если не является -группой, то, кроме существуют и другие элементы принадлежащие всем окрестностям единицы а потому не отделимые от Очевидно, эти элементы составляют некоторую нормальную подгруппу Согласно § 162

подгруппа является замкнутой оболочкой множества поэтому подгруппа замкнута. Факторгруппа является -группой.

Задача. Пусть в группе задана последовательность содержащихся друг в друге нормальных подгрупп:

Если базисными окрестностями единицы объявить эти нормальные подгруппы, то свойства будут выполнены и окажется -группой. Свойство будет выполнено только тогда, когда пересечение всех состоит из одной единицы.