§ 80. Поле комплексных чисел

Если присоединить к полю вещественных чисел корень I неразложимого в многочлена то получится поле комплексных чисел

Если речь идет о «числах», то в последующем это будет означать, что мы говорим о комплексных (и, в частности, о

вещественных) числах. Алгебраические числа — это такие числа, которые алгебраичны над полем рациональных чисел Понятно, что нужно понимать под полями алгебраических чисел, полями вещественных чисел и т. д. Согласно теоремам из § 41 алгебраические числа составляют некоторое поле в нем содержатся все поля алгебраических чисел.

Докажем следующее предложение:

В поле комплексных чисел уравнение вещественны) разрешимо; это означает, что каждое число поля комплексных чисел обладает квадратным корнем.

Доказательство. Число вещественны) тогда и только тогда обладает нужным свойством, когда

т. е. выполнены условия

Из этих равенств следует далее так что Отсюда и из первого условия определяются

Действительно, указанные справа величины неотрицательны, поэтому через них можно определить числа с точностью до знака. Умножение дает

поэтому знак у можно определить так, чтобы выполнялось и последнее условие

Из доказанного следует, что в поле комплексных чисел можно решить любое квадратное уравнение

представляя его в виде

Решение таково:

где какое-нибудь решение уравнения

Основная теорема алгебры, а лучше сказать — основная теорема учения о комплексных числах, — утверждает, что в поле С не только каждый квадратный, но и вообще любой отличный от константы многочлен имеет корень.

Простейшее доказательство основной теоремы — это, вероятно, теоретико-функциональное, которое проводится так: предположим, что многочлен не имеет ни одного комплексного корня; тогда

является регулярной во всей -плоскости функцией, которая при остается ограниченной (даже стремящейся к нулю); в силу теоремы Лиувилля эта функция является константой, но тогда и константа.

Гаусс предложил много доказательств основной теоремы. Второе доказательство Гаусса, которое использует лишь простейшие свойства вещественных и комплексных чисел, но зато довольно сложные алгебраические средства, мы рассмотрим в § 81

Под модулем комплексного числа подразумевается вещественное число

где а — комплексно сопряженное, т. е. сопряженное над полем вещественных чисел, число

Очевидно, только для Далее,

Чтобы доказать второе соотношение

предположим на минуту уже известным более специальное соотношение:

Если то (2) тривиально; если же то

Для доказательства (3) положим тогда

следовательно,

чем и доказывается (3), а значит, и (2).