§ 124. Пересечение всех степеней идеала

Пусть в дальнейшем о обозначает нётерово кольцо с единицей. Кольцо называется нуль-примарным, если примарен нулевой идеал, т. е. если из следует, что или

В фундаментальной работе В. Крулль показал, что в произвольном нуль-примарном кольце частности, в любом целостном кольце — пересечение всех степеней каждого отличного от о идеала а равно нулю. Для простых идеалов равно нулю даже пересечение всех символических степеней Из этих теорем оказывается возможным получить ряд утверждений и о произвольных кольцах. Мы изложим здесь основные идеи соответствующей теории.

Теорема 1. Если идеалы в нуль-примарном кольце и

то

Доказательство. Пусгъ Тогда из (1) следует, что

Как обычно, положим, для тогда вместо (2) можно записать

Определитель этой системы уравнений равен

где а принадлежит идеалу а. Умножим уравнения (3) на миноры элементов столбца определителя и сложим полученные равенства; получится

а отсюда для каждого элемента идеала получаем

Это означает, что либо либо, если ни одна из степеней элемента не равна нулю, для всех из . В первом случае следовательно, Во втором же случае

Теорема 2. Если — нуль-примарное кольцо то пересечение всех степеней идеала а равно нулю:

Доказательство. Прежде всего следует доказать включение Для этой цели представим в виде пересечения примарных идеалов

Для каждого идеал делится на следовательно, или некоторая степень делится на Но идеал делится на каждую степень ; следовательно, в обоих случаях Так как это включение имеет место для всех справедливо равенство Согласно теореме 1 отсюда следует, что

Для простых идеалов имеет место более сильное утверждение:

Теорема 3. В любом нуль-примарном кольце пересечение всех символических степеней отличного от о простого идеала является нулевым идеалом:

Доказательство. Пусть совокупность всех элементов из о, не делящихся на Возьмем кольцо частных Пусть — расширение идеала в кольце Очевидно, расширением идеала у будет Однако сужение идеала на исходное кольцо равно

Пересечение всех символических степеней равно пересечению всех с кольцом о. Согласно теореме 2 пересечение всех идеалов равно нулю. Следовательно, пересечение всех является нулевым идеалом.

Теоремы 1 и 2 могут быть распространены на произвольные кольца рассмотренного здесь вида. Пусть множество всех элементов где а пробегает идеал а. Множество мультипликативно замкнуто, а потому можно определить S-компоненту нулевого идеала как множество таких х, для которых выполняется равенство

Имеют место следующие предложения: Теорема 1а. Из следует, что Теорема 2а. Пересечение всех степеней идеала а равно Доказательство теоремы 1а начинается точно так же, как доказательство теоремы 1, — с равенства

Из этого равенства немедленно следует утверждение:

Половина теоремы 2а — включение

— доказывается точно так же, как теорема 2. Вторую половину — включение

— доказать тоже легко. Действительно, если х лежит в то

откуда и поэтому

Тем самым элемент х делится на любую степень элемента а. Применим теоремы 1 и 2 к факторкольцу по некоторому примерному идеалу в результате получатся следующие утверждения:

Теорема 16. Если примарный идеал и

то либо

Теорема 26. Если элемент у кольца о удовлетворяет при каждом натуральном сравнению

то либо

(см. скан)