§ 62. Решение уравнений в радикалах

Известно, что корни уравнений второй, третьей и четвертой степеней выражаются через коэффициенты этих уравнений с помощью рациональных операций и извлечения корней («радикалов») (ср. § 64). Поставим теперь вопрос: какие вообще уравнения обладают тем свойством, что их корпи выражаются через элементы основного поля К с помощью рациональных операций и радикалов? При этом мы можем, конечно, ограничиться неразложимыми уравнениями с коэффициентами из К. Задача состоит в том, чтобы последовательным присоединением элементов вида У а (где а принадлежит уже построенному полю) построить над К поле, которое содержит один или все корни заданного уравнения.

Такая постановка вопроса является, однако, неточной в следующем отношении. Корень вообще говоря, является многозначной функцией в поле и возникает вопрос, какое именно из значений следует понимать под у а. Например, если выразить через радикалы примитивный корень шестой степени из единицы, то представление или даже будет неудовлетворительным, в то время как представление намного удовлетворительнее, так как выражение при любом выборе значений корня (т. е. выборе решения уравнения дает оба примитивных корня шестой степени из единицы.

Важнейший вывод, который можно сделать из этого наблюдения, состоит в следующем: нужно, чтобы, во-первых, все решения рассматриваемых уравнений представились в виде

(или аналогичном) и, во-вторых, эти выражения при любом выборе входящих в них радикалов представляли решения рассматриваемого уравнения. (Конечно, имеется ввиду, что если радикал входит в выражение (1) несколько раз, то ему всюду придается одно и то же значение.)

Предположим, что первое требование выполнено. Тогда будет выполнено и второе, если позаботиться о том, чтобы при последовательном присоединении радикалов всякий раз уравнение было неразложимым. Действительно, тогда все возможные значения функции будут сопряженными и, следовательно, могут переводиться друг в друга изоморфизмами; эти изоморфизмы при всех последующих присоединениях можно продолжать до изоморфизмов очередного расширения (ср. § 41). Следовательно, если при некотором выборе значения радикала выражение (1) дает корень рассматриваемого уравнения, то и при любом другом значении этого радикала упомянутое выражение вновь дает корень уравнения, потому что любой изоморфизм переводит корни многочлена из в корни этого же многочлена.

После этих предварительных замечаний мы можем сформулировать основную теорему об уравнениях, разрешимых в радикалах:

1. Если какой-либо корень неразложимого в К уравнения представляется в виде (1) и если показатели радикалов в этом выражении не делятся на характеристику поля К, то группа Галуа данного уравнения разрешима. 2. Обратно, если

группа Галуа уравнения разрешима, то все корни уравнения представляются в виде (1); при этом показатели последовательно присоединяемых радикалов будут простыми числами, а соответствующие уравнения неразложимы. Предполагается, что характеристика поля К равна нулю или превосходит наибольшее простое число, содержащееся среди порядков композиционных факторов.

Эта теорема, по существу, утверждает, что для решения вопроса о разрешимости уравнения в радикалах достаточно решить вопрос о разрешимости группы. В действительности, теорема утверждает нечто большее, потому что в первой ее части понятие разрешимости в радикалах сформулировано в наиболее слабом виде, а во второй — в наиболее сильном.

Доказательство. 1. Прежде всего мы можем считать показатели корней простыми числами, воспользовавшись тем, что

Присоединим к полю К корни из единицы степени степени где простые числа, входящие в показатели корней, участвующих в (1). В результате получится серия циклических нормальных расширений, которые мы можем считать разложенными на расширения простых степеней. Когда указанные корни из единицы будут присоединены, присоединение каждого согласно § 61, либо не даст никакого расширения, либо даст циклическое расширение степени Следовательно, вместе с к полю присоединяются все сопряженные с этим корнем степени из а элементы; поскольку так получаются лишь циклические расширения простой степени, в итоге получается нормальное над К поле. Таким образом, в конце концов мы придем к ряду циклических расширений

которая приводит к нормальному расширению содержащему корень (1) многочлена Так как нормальное расширение, оно содержит все корни многочлена т. е. содержит поле разложения 2 многочлена

Пусть (5) — группа Галуа расширения над Тогда ряду полей (2) соответствует ряд подгрупп группы

и каждая из этих подгрупп является нормальной в предыдущей, причем факторгруппы являются циклическими группами простых порядков. Это означает, что группа разрешима и (3) — ее композиционный ряд.

Полю 2 соответствует некоторая подгруппа нормальная в согласно § 51 мы можем построить композиционный ряд, проходящий через композиционные факторы которого с точностью до изоморфизма будут теми же, что и у ряда (3), но, возможно, расположенными в другом порядке:

Группа Галуа поля 2 над полем К — это группа для нее мы имеем композиционный ряд

факторы которого согласно второй теореме об изоморфизме (§ 50) изоморфны соответствующим факторам ряда (4), а потому снова цикличны и простых порядков. Утверждение 1 доказано.

Для утверждения 2 мы докажем сначала следующую лемму:

Лемма. Корни степени из единицы простое число) представимы «неразложимыми радикалами» (т. е. корнями неразложимых уравнений если считать, что характеристика поля К равна нулю или больше числа

Так как утверждение тривиально для случая (корни второй степени из единицы рациональны — это числа ±1), мы можем считать, что лемма доказана для всех простых чисел, меньших Поле корней степени из единицы циклично в соответствии с § 60, и его степень является делителем числа Если, таким образом, разложить на простые множители: то указанное поле можно построить с помощью последовательных циклических расширений степеней Присоединим корни степеней из единицы; согласно предположению индукции они представляются неразложимыми радикалами. После этого мы можем применить теорему из § 61 к циклическим расширениям степеней утверждающую представимость в радикалах последовательных образующих элементов полей. Участвующие в рассмотрениях уравнения должны быть неразложимыми, потому что в противном случае числа не могли бы быть степенями соответствующих полей.

Теперь мы можем доказать утверждение 2. Пусть 2 — поле разложения многочлена композиционный ряд группы Галуа поля 2 над полем К. Этому ряду групп соответствует ряд полей:

в котором каждое поле — нормальное циклическое расширение предшествующего. Если относительные степени этих полей, то сначала мы присоединяем к К корни из единицы степени затем — степени что согласно лемме возможно сделать присоединением неразложимых радикалов. Согласно теореме из § 61 порождающие элементы полей можно выразить через радикалы, причем всякий раз очередное уравнение будет или неразложимым или полностью разлагающимся (§ 61, конец). В последнем случае присоединение радикала излишне. Тем самым доказано и утверждение .

То, что утверждение оказывается неверным, когда одна из степеней равна характеристике поля показывает следующий пример: «общее уравнение второй степени» переменные, присоединенные к простому полю характеристики 2) неразложимо и сепарабельно и остается неразложимым при присоединении всех корней из единицы. Присоединение корня неразложимого двучленного уравнения нечетной степени не может привести к разложению рассматриваемого уравнения, так как такое присоединение порождает поле нечетной степени. Но и присоединение квадратного корня не дает разложения уравнения, потому что при этом не меняется редуцированная степень поля. Следовательно, уравнение ни одним способом не решается в радикалах.

Применение. Симметрические группы второй, третьей и четвертой степеней (и их подгруппы) разрешимы; этим объясняется возможность получения формул решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней (вывод дается в § 64). Симметрические группы пятой и более высоких степеней разрешимыми не являются (§ 55) и, как мы скоро увидим, для каждой степени существует уравнение, группа которого есть симметрическая группа этой степени. Следовательно, не существует общей формулы решения для уравнений пятой и более высоких степеней. Лишь частные виды таких уравнений (например, уравнение деления круга) могут быть решены в радикалах.