§ 89. Вычисление полей простейших систем

Законы электрического поля, изложенные в предыдущем параграфе, а также общие соображения о симметрии помогут нам вычислить поля некоторых несложных систем. Найти поле — это значит вычислить напряженность, индукцию или потенциал. Заметим, что знания потенциала вполне достаточно, чтобы характеризовать поле. Зная во всех точках пространства, можно найти значения вектора дифференцированием Эта процедура станет особенно ясной, если построить поверхности равного потенциала (эквипотенциальные поверхности), удовлетворяющие уравнению Так как работа перемещения заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю, то силовые линии идут вдоль нормалей к эквипотенциальным поверхностям. Значит, для нахождения числового значения надо продифференцировать в направлении нормали. Математические операции такого типа рассматриваются в векторном анализе. Однако такое дифференцирование легко произвести графически, если построить график, на котором значение будет отложено в функции координаты, отсчитываемой вдоль силовой линии. Тангенс угла наклона этой кривой даст аначение с обратным знаком для любого места на силовой линии.

Имея в виду необходимость усвоения читателем новых понятий, мы на примерах проанализируем особенности как потенциала, так и векторных характеристик поля, хотя, повторяем, в принципе знание потенциала решает задачу.

Точечный заряд.

Из соображений симметрии ясно, что поле уединенного точечного заряда должно быть радиальным сферически симметричным полем.

Проведем сферу с радиусом Поток смещения, исходящий из заряда будет равен

Угол а — это угол между силовыми линиями и поверхностью построенной сферы; он равен 90°. Во всех точках поверхности 2) имеет одно и то же значение и поэтому может быть вынесено за знак

интеграла. Тогда

и так как (площадь сферы), то смещение в точке, расположенной на расстоянии от заряда, равно а индукция

Напряженность электрического поля

Для данного случая более удобна система СГС, в которой Тогда или в случае вакуума

Так как напряженность поля равна производной от потенциала (с обратным знаком) вдоль силовой линии, т. е.

то для потенциала точечного заряда получим выражение

Постоянную интегрирования положим равной нулю. Этим мы ввели начало отсчета потенциала: в бесконечности

Итак, потенциал точечного заряда убывает обратно пропорционально первой степени расстояния, а напряженность — квадрату расстояния.

Если заряд находится в среде с диэлектрическим коэффициентом то напряженность и потенциал уменьшаются в раз.

Потенциал Земли 0,07 В. При этом за нуль принимается потенциал на бесконечности. В электротехнике потенциал Земли принимается равным нулю.