ГЛАВА 5. КОЛЕБАНИЯ

§ 24. Малые отклонения от равновесия

Движения, совершаемые телом или частицей около положения равновесия, часто встречаются в природе. Покачивается грузик, подвешенный на нитке, дрожит пружинка, колеблется атом, входящий в кристаллическую решетку.

Рис. 37.

Если материальное тело или тючка, на которую действуют силы, находится в положении равновесия, то потенциальная энергия ее минимальна — система находится в потенциальной яме (рис. 37). Если отклонения от положения равновесия невелики, то рассмотрению подлежит маленький участок потенциальной ямы. Ход потенциальных кривых вблизи положения равновесия всегда может быть представлен параболической зависимостью, т. е. в виде Здесь коэффициент пропорциональности; половинка введена для удобства, которое сейчас станет очевидным.

Обоснование написанной зависимости заключается в следующем. Потенциальная энергия есть функция смещения из положения равновесия. Как известно, при достаточно широких предположениях любую функцию при малых х можно разложить в ряд Тейлора по возрастающим степеням

Однако, если х мало, то члены с высокими степенями можно откинуть, а первый член пропадает, если потенциальная яма симметрична, и значения потенциальной энергии на одинаковых расстояниях слева и справа от равновесия должны быть одинаковы.

Сила, действующая на отклонившуюся от равновесия точку, будет равна производной от потенциальной энергии с обратным знаком. Поэтому, если энергия выражается формулой то Смысл знака минус очевиден: найденная сила всегда возвращает тело к положению равновесия, всегда направлена в сторону, противоположную смещению. Силу так и называют возвращающей силой, а коэффициент иногда называют коэффициентом возвращающей силы.

Какой же характер будет носить движение, возникшее под действием возвращающей силы? На этот вопрос ответ должен дать закон Ньютона, который запишется для движений вблизи равновесия в виде

Это уравнение будет удовлетворено, если точка совершает около положения равновесия гармонические колебания, т. е. колебания по закону

где период колебания.

Проверим это утверждение. Скорость движения точки для написанной зависимости смещения от времени будет равна

Запомним, что максимальное значение скорости колебательного движения, т. е. амплитуды скорости, равно Теперь найдем ускорение как производную скорости. Получим

Подставляя в закон Ньютона выражения для ускорения и для смещения, имеем

мы видим, что содержащие время множители сокращаются. Значит, уравнение гармонического колебания удовлетворяет закону Ньютона для малых отклонений от равновесия.

Замечательным является то обстоятельство, что закон Ньютона накладывает связь на период возможных колебаний. Как видно из последней формулы, период свободных колебаний около положения равновесия Период колебания определяется свойствами колеблющейся системы — коэффициентом возвращающей силы и массой точки. Поэтому понятно, что этот период называют собственным или характеристическим периодом колеблющейся системы.

На амплитуду колебаний А условий не наложено, разумеется, за исключением того, что колебания должны быть малыми отклонениями от положения равновесия.