§ 7. Какие данные необходимы для решения механической задачи?

Основной задачей механики является нахождение движения по заданным силам. Найти движение — это значит суметь указать, в каком месте пространства и в какой момент времени находится любая из материальных точек. Если же нас интересует сложная механическая система, то такие сведения нужны по отношению к каждой из материальных точек, на которые эта система мысленно разделена.

Для того чтобы справиться с такой задачей, мы прежде всего должны располагать исчерпывающими сведениями о действующих силах. Силы должны быть известны для любой точки и любого места нахождения этой точки. Если силы известны, то при помощи

уравнения Ньютона мы можем определить ускорение материальной точки. Однако сведения о траектории, скорости, знание момента времени, которому соответствует прохождение через данную точку пространства, — все эти сведения при помощи одних только уравнений движения Ньютона не могут быть получены. Чтобы описать движение, надо для любого момента времени знать место, где находилась материальная точка, а также знать ее скорость как по величине, так и по направлению. Всего требуется задать шесть чисел: три координаты и три проекции скорости по осям. Эти данные однозначно характеризуют «механическое состояние» точки; их можно назвать параметрами состояния.

Итак, задача сводится к нахождению параметров состояния, а уравнения Ньютона дают лишь ускорения.

Чтобы решить задачу, нужно знать начальные условия, т. е. значения параметров состояния для какого-либо момента времени (обычно этот момент обозначают отсюда и название: начальные условия). Если начальные значения параметров состояния известны, то дальнейшее является уже делом математика. Уравнения движения Ньютона плюс начальные данные однозначно решают механическую задачу. Дальнейшая судьба точки, а также ее прошлое могут быть прослежены в принципе на сколь угодно большие сроки вперед и назад. Эта идея в свое время поражала ученых. Великий французский ученый и мыслитель Лаплас говорил: если бы знать начальные координаты и скорости всех частиц, из которых состоит мир, то можно было бы предсказать судьбу мира. Эта несколько наивная точка зрения, сводящая все сущее к чисто механическим явлениям, несправедлива в принципе, и не только потому, что практически невозможно располагать требуемыми сведениями. Дело в том, что механика, основывающаяся на законах Ньютона, имеет ограниченное применение и выводы ее не могут применяться столь широко.

Вернемся, однако, к шести начальным условиям. Необходимость задания для материальной точки именно шести цифр отчетливо видна из самих уравнений Ньютона.

Векторное уравнение можно разложить по трем осям и написать его в виде трех равенств: Определить движение — это значит найти, как меняются со временем все три координаты точки: Нахождение зависимости координатах от времени производится интегрированием уравнения

Первое интегрирование позволяет найти х-компоненту скорости. При интегрировании появляется первая постоянная интегрирования. Второе интегрирование позволяет найти координату х в функции времени. При втором интегрировании, появляется вторая произвольная постоянная. То же самое относится и к уравнениям изменения со временем других двух координат. Всего появятся шесть

произвольных постоянных, которые могут быть найдены лишь в том случае, если известны какие-либо шесть независимых данных о координатах и скоростях частицы.

Начальные условия — это, как мы говорили, три начальные координаты и три начальные проекции скорости. Однако задача может быть решена, если известны и другие шесть чисел. Например, можно задать три координаты начальной точки, числовое значение начальной скорости и две координаты конечной точки. Траектория точки однозначно определится и этими шестью условиями.

Параметры точки могут быть заданы различным способом. Положение точки в пространстве можно задать тремя декартовыми координатами, можно задать расстояние от начала координат и два угла, образованных радиусом-вектором с осями. То же самое относится и к скорости.

Характерным примером зависимости движения тела от начальных условий является поведение ракеты, выброшенной с поверхности Земли. Траектория ракеты и ее судьба определяются направлением выброса, географическим расположением места запуска и величиной начальной скорости. При небольших скоростях брошенное с Земли тело описывает, как хорошо известно, параболическую кривую. При скорости около обеспечивается равенство центробежной силы и силы притяжения и брошенное тело может быть положено на круговую орбиту. При скоростях между брошенное тело описывает около Земли эллиптическую траекторию. При начальной скорости около кинетическая энергия тела становится достаточной для полного преодоления притяжения Земли. Ракета, брошенная с такой скоростью, будет двигаться по гиперболе.

Если механическая система состоит из независимых точек, то число параметров системы будет равно

Однако в ряде случаев на механическую систему могут накладываться связи, уменьшающие это число. Простым примером является центробежный регулятор, который можно представить себе как систему из двух связанных шариков, которые могут раздвигаться и крутиться около общей оси. Ясно, что заданием расстояния точки от оси вращения и азимутального угла по отношению к произвольной линии мы однозначно определяем механическое состояние системы. Две «координаты» и две скорости изменения этих координат являются параметрами этого состояния.

Рассмотрим теперь произвольно вращающееся твердое тело и подумаем, какими данными надо располагать, чтобы фиксировать его расположение по отношению к неподвижной системе координат. Ясно, что тремя данными мы определим расположение центра тяжести тела. Для описания же поворота тела достаточно знания трех углов. Можно не останавливаться на этом положении, так как очевидно, что тремя поворотами около взаимно перпендикулярных осей всегда можно придать телу любую ориентировку.

Итак, твердое тело надо характеризовать шестью координатами и шестью скоростями изменения этих координат, всего двенадцатью параметрами.

В качестве еще одного примера рассмотрим две жестко связанные точки. Если бы они были свободны, то для их характеристики требовалось бы знание шести координат. Так как они жестко связаны, то имеется дополнительное условие, связывающее координаты этих точек:

Таким образом, независимых величин, характеризующих указанную систему, имеется пять. Пять координат и пять скоростей изменения этих координат дают для этой системы десять параметров.

Так как параметры состояния разбиваются всегда пополам на «координаты» и скорости изменения «координат», то принято говорить о степенях свободы системы, подразумевая под этим число независимых координат, нужных для описания системы. Таким образом, одна точка имеет три степени свободы, две жестко скрепленные точки — пять степеней свободы, твердое тело — шесть степеней свободы, система из независимых точек — степеней свободы и т. д. Теперь нам будет ясен смысл утверждения: механическое состояние системы определяется заданием ее параметров по числу степеней свободы.