§ 117. Электрические колебания

Фундаментальное значение для электродинамики имеют процессы превращения электрической энергии в магнитную и обратно. В качестве простейшей системы, в которой имеют место подобные превращения, мы можем рассмотреть заряженный электричеством конденсатор, обкладки которого в некоторый момент присоединяются к концам катушки (рис. 129). При разрядке конденсатора через катушку течет электрический ток и около нее создается магнитное поле. В каждое мгновение в этой системе существуют тесно связанные между собой электрическое поле конденсатора и магнитное поле катушки. Энергия этого контура складывается в каждый момент времени из электрической энергии поля, сосредоточенного в основном между обкладками конденсатора, и магнитной энергии, сосредоточенной главным образом внутри катушки. Как известно, в такого рода контуре возникают электрические колебания. Необходимость электрических колебаний в подобной системе сейчас будет нами показана.

Рис. 129.

Оставим сначала без внимания потерю энергии на джоулево тепло. Тогда закон сохранения энергии требует выполнения равенства

Сумма электрической и магнитной энергии в каждое мгновение одна и та же, и, значит, производная по времени от написанного

выражения должна равняться нулю:

Так как сила тока должна равняться убыли заряда с пластины конденсатора,

то уравнение упрощается и получает вид

Подобная связь между зарядом на пластинах конденсатора и силой тока, являющейся производной от заряда по времени, может быть удовлетворена лишь при колебания заряда и тока по гармоническому закону.

Это станет ясным, если мы сопоставим уравнения механического колебания (стр. 75) с найденным:

Аналогия имеет место между зарядом и током, с одной стороны, и смещением от положения равновесия и скоростью движения, — с другой. Что же касается параметров системы, то индуктивность играет роль массы, а обратная емкость — роль жесткости системы.

Беря начало отсчета времени в тот момент, когда конденсатор заряжен полностью, положим, что

Тогда

Подставляя в дифференциальное уравнение, получим

или после сокращения

Таким образом, каков бы ни был начальный заряд на обкладках конденсатора, в нем происходят гармонические колебания с собственной частотой Частота электрических колебаний тем больше, чем меньше емкость и индуктивность цепи.

Что же происходит в реальной цепи тока, где нельзя пренебречь потерями на джоулево тепло? Очевидно, в этом случае полная энергия системы будет убывать в согласии с равенством

т. е.

Продифференцировав еще раз по времени и используя соотношение между зарядом и током, мы приходим к уравнению вида

И здесь необходимо проследить аналогию между соответствующими электрическими и механическими величинами. Сопоставляя последнее уравнение с уравнением механических колебаний с трением (стр. 79), мы отметим аналогию между электрическим сопротивлением и коэффициентом а, характеризующим механическое сопротивление.

Решения подобных линейных дифференциальных уравнений рассматриваются в курсах высшей математики. Мы ограничимся тем, что приведем окончательную формулу, справедливость которой, впрочем, нетрудно проверить подстановкой в уравнение

Частота колебаний

Таким образом, процесс определяется двумя характеристиками: собственной частотой свободных незатухающих колебаний и коэффициентом затухания Мы видим, во-первых, что малое затухание достигается уменьшением сопротивления по отношению к индукхивности (разумеется, такой ситуации трудно добиться; скажем, увеличивая число витков катушки, мы увеличим одновременно обе величины; правда, будет расти быстрее). Во-вторых, мы можем отметить, что при условии

колебания становятся невозможными. Разрядка конденсатора в таких условиях приводит к апериодическому процессу, аналогичному возвращению маятника, отклоненного в вязкой среде, в положение равновесия.

Пример. Пусть имеется конденсатор переменной емкости с максимальной емкостью Вычислим Индуктивности катушек, необходимых для контура радиоприемника, работающего в диапазонах

1. Частота электрических колебаний, соответствующая Так как то

Чтобы процесс в контуре был периодическим, сопротивление контура должно быть меньше Ом.

2. . Чтобы колебания были возможны, сопротивление контура должно быть меньше Ом.