§ 13. Потенциальные кривые. Равновесие

Потенциальная энергия взаимодействия тел или частиц зависит от их взаимного расположения, т. е. всегда является функцией координат или иных параметров, характеризующих положение этих тел в пространстве. В простейших случаях потенциальная энергия может зависеть от одной-единственной координаты.

Рассмотрим взаимодействие двух частиц, потенциальная энергия взаимодействия которых определяется функцией где расстояние между частицами. Пусть для определенности частицы отталкиваются с силой Под действием силы взаимодействия расстояние между ними увеличится на т. е. будет совершена работа Это возможно за счет потенциальной энергии взаимодействия которая изменится на (уменьшение энергии).

Таким образом, — или

т. е. в случае потенциальных сил сила есть производная от потенциальной энергии по параметру х с обратным знаком. Тогда характер механической задачи очень просто и наглядно описывается при

помощи так называемых потенциальных кривых, т. е. графиков, на которых значения потенциальной энергии отложены в функции параметра (рис. 17).

При объяснении существа этого графического метода обычно обращаются к движению тела по горе. Рисунок потенциальной кривой особо нагляден в этом случае, так как профиль горы и вид Потенциальной энергия, которая пропорциональна высоте совпадают с точностью до постоянного множителя.

Рис. 17.

На потенциальной кривой имеются ямы, вершины, крутые и отлогие скаты и подъемы. Вид кривой позволяет сразу же указать, на каких участках пути совершается большая или меньшая работа, каков знак этой работы. Чем круче потенциальная кривая, тем больше сила, действующая на тело. В соответствии с известным геометрическим смыслом производной сила характеризуется тангенсом угла наклона касательной к потенциальной кривой.

Справедливость формулы, связывающей потенциальную энергию и силу, вполне очевидна для тех частных случаев потенциальной энергии, которые мы привлекли к рассмотрению. Для потенциальной энергии тела у поверхности Земли

для тела в поле тяготения в общем случае

для тела, подвергающегося упругому действию,

для электрического взаимодействия

Возвращаясь к потенциальной кривой, изображенной на рисунке, мы сразу же можем отметить на ней, пользуясь сделанным замечанием, те места, где сила наибольшая, и те точки, где сила, действующая на тело, равна нулю. Последние точки, т. е. положения равновесия, — это дно потенциальной ямы и вершина потенциальной

горы. Те положения, при которых потенциальная энергия максимальна, соответствуют неустойчивому равновесию, а дно потенциальной ямы является положением устойчивого равновесия.

Мы сказали выше, что вид потенциальной кривой позволяет описать возможное движение тела. Это не вполне точно: кроме потенциальной кривой нужно еще знать значение полной механической энергии тела. Если это число известно, то действительно можно по виду потенциальной кривой рассказать о возможных движениях тела или частицы.

На рис. 17 проведены горизонтальные прямые с ординатами и Если есть полная энергия частицы, то из графика можно найти уже не только потенциальную энергию, но и кинетическую энергию как разность между

Движущаяся точка не может быть в тех положениях, при которых потенциальная энергия больше полной энергии. Таким образом, горизонтальная прямая <§ ограничивает возможные участки движения тела. В случае, если энергия выражается нижней прямой у движущейся точки имеются два возможных интервала положений: она может находиться либо в потенциальной яме (и совершать в ней колебательные движения), либо на склоне правее точки где она будет двигаться вниз или вверх с соответствующим приобретением или потерей кинетической энергии.

Проведенные рассуждения вполне одинаковы для потенциальной кривой любой природы. На рис. 18 приводится несколько типов потенциальных кривых.

Рис. 18.

Кривая 18, а — это потенциальная кривая тела, колеблющегося на пружине. Колеблющееся тело находится в потенциальной яме с симметричными краями. Кривая это потенциальная кривая, типичная для многих взаимодействующих частиц — атомов, молекул. Кривая представляет собой потенциальную яму, один край которой очень крутой, а другой — пологий. По оси абсцисс отложено расстояние между частицами. Как видно из кривой, потенциальная энергия весьма велика на малых расстояниях, затем с увеличением расстояния потенциальная энергия падает, достигает минимума, затем медленно возрастает, стремясь к

некоторому конечному пределу. Характер движения и связи двух взаимодействующих частиц вполне детально описывается этой кривой. Следует различать два случая: первый, когда полная механическая энергия этой пары частиц выражается нижней горизонтальной прямой и второй, когда полная энергия равна В первом случае система не может выбраться из потенциальной ямы. Это значит, что расстояние между частицами лежит в пределах, указанных на рисунке. Взаимное движение частиц может носить лишь колебательный характер. Так обстоит дело в устойчивой двухатомной молекуле. Второй случай обратен первому. Полная энергия взаимодействующих частиц слишком велика, чтобы они постоянно были связаны. Система может выйти из потенциальной ямы, т. е. связь между частицами не может существовать, частицы могут разойтись на сколь угодно большое расстояние.

Третья потенциальная кривая на рисунке — это так называеемый потенциальный ящик. Вспоминая, что сила характеризуется тангенсом угла наклона касательной к потенциальной кривой, мы видим, что потенциальная энергия может быть представлена в виде ящика, если тело или частицы перемещаются свободно без действия сил, но не могут выйти за пределы заданного участка, пока полная энергия меньше высоты бортов ямы.