§ 229. Выбор ячейки. Симметрия кристалла

Для описания решетки могут быть приняты различные тройки векторов . Если внутри элементарной ячейки нет узла, то такая ячейка называется примитивной.

Различные способы выбора примитивной элементарной ячейки показаны на рис. 253. На каждый узел решетки приходится одинаковый объем.

Рис. 253.

Это объясняется периодичностью пространственной решетки. Объем, приходящийся на один узел, равен объему примитивной элементарной ячейки, независимо от способа выбора

ее. Действительно, каждый из восьми узлов, находящихся в вершинах такой ячейки, «поделен» между восемью ячейками, т. е. принадлежит каждой из них на 1/8. Таким образом, на каждую ячейку приходится один узел. В ряде случаев целесообразен выбор элементарной ячейки большего объема, чем примитивная.

Желая отразить в выборе ячейки максимальную симметрию кристалла, зачастую вместо примитивной элементарной ячейки выбирают элементарную ячейку, у которой дополнительные узлы находятся в центрах граней или в центре объема. Три случая являются распространенными.

1. Объемно-центрированная ячейка. Дополнительный узел находится в точке пересечения пространственных диагоналей ячейки. На каждую ячейку приходятся узлы: и Один узел (в центре) целиком принадлежит ячейке; восемь узлов вершин параллелепипеда принадлежат каждый восьми ячейкам, т. е. данной ячейке каждый из таких узлов принадлежит на

2. Гранецентрированная ячейка. Дополнительные узлы находятся в центрах одной из пар граней, например На каждую ячейку приходится два узла:

3. Всесторонне центрированная ячейка. Дополнительные узлы находятся в центрах всех граней. Каждой ячейке принадлежат четыре узла:

Обычно пользуются следующими обозначениями: примитивная ячейка; ячейки, центрированные в гранях всесторонне центрированные ячейки и объемно-центрированные.

Как это было подчеркнуто ранее, узел решетки — это определенным образом выбранная, но произвольная ее точка. Следующий узел отстоит от выбранного на расстоянии периода решетки. Таким образом, на примитивную ячейку приходится один узел.

Можно сказать, что всю совокупность атомов примитивной ячейки мы заменяем узлом. Большей частью за узел решетки принимается точка пересечения элементов симметрии.

В примитивной ячейке может находиться много атомов. Структуру, где в ячейку входит много атомов, характеризуют координатами атомов в элементарной ячейке.

Все опытные факты безупречно объясняются представлением о кристалле как о пространственной решетке. Ребра и грани кристалла трактуются как узловые прямые и плоскости. Углы между гранями и ребрами кристаллов у всех кристаллических объектов данного химического соединения одинаковы.

Все симметрические особенности строения кристалла также вытекают из представления о пространственной решетке.

Кристаллы различных веществ обладают разной симметрией. Если кристалл хорошо образован, то симметрия его бросается в

глаза. Видно, что через кристалл можно провести определенным образом плоскости и оси симметрии.

Внешняя симметрия кристалла объясняется его внутренним строением — симметрией пространственной решетки.

К элементам симметрии, встречающимся в кристаллах, кроме осей симметрии, относятся зеркальная плоскость и центр инверсии (другой термин — центр симметрии). Об операциях, совершаемых этими элементами симметрии, напоминает рис. 254.

Уже давно было известно, что в кристаллах не встречаются оси симметрии выше шестого порядка и отсутствуют оси симметрии пятого порядка. Исходя из этого, А. В. Гадолин показал, что возможно существование лишь 32 классов симметрии среди кристаллических тел.

До создания теории пространственной решетки оставалось неясным, почему оси пятого, седьмого и т. д. порядков не встречаются среди кристаллов. Эту и другие особенности симметрии кристаллов можно доказать, исходя из теории пространственной решетки.

Рис. 254.

Рис. 255.

Рассмотрим поворот одной плоскости решетки. Повороты, невозможные для плоскости, будут тем более невозможными для всей решетки.

Пусть ось порядка проходит через узел решетки В и ближайшая к ней идентичная — через узел решетки А (рис. 255). Поворот около оси В переводит узел А в узел А, поворот около А переводит Согласно построению Однако расстояние между узлами должно быть кратно периоду идентичности ибо параллельно Следовательно, а

должно равняться целому числу. Из этого условия следуют для а только лишь такие возможные значения: углы поворота 60°, 90°, 120°, 180° и 360°. Как и следует из определения закрытой симметрической операции, все углы поворота равны частному от деления 360° на целое число. Таким образом, в кристалле возможны поворотные оси симметрии шестого, четвертого, третьего, второго и первого порядков.

Рис. 256.

Можно легко доказать, что ось симметрии является узловой прямой и нормальна к узловой плоскости.

Симметрия пространственной решетки определяет симметрию кристалла. Однако следует иметь в виду, что симметрия решетки значительно богаче. Если существуют 32 класса симметрии кристалла, то у пространственных решеток существуют, как было впервые показано основателем структурной кристаллографии Е. С. Федоровым, 230 видов симметрии — федоровских групп.

Более богатая симметрия решетки объясняется тем, что наряду с закрытыми операциями симметрии она содержит элемент симметрии, невозможный для тела, — трансляцию. Действительно, симметрическая операция — это перемещение, переводящее тело в положение, не отличное от исходного. Всякое перемещение на период идентичности вдоль той или иной узловой прямой будет поэтому симметрической операцией для бесконечной решетки.

Трансляция позволяет осуществить в решетке следующие новые элементы симметрии: 1) комбинацию поворота с трансляцией — винтовые оси, комбинацию отражения с трансляцией — плоскости скольжения (рис. 256). На правом рисунке показана винтовая ось четвертого порядка; каждая из точек 2, 5, 4 и 5 возникает из предыдущей поворотом на 90° и сдвигом вдоль оси на величину равную периода. На левом рисунке треугольники связаны отражением в плоскости и скольжением вдоль линии А А на у периода.