§ 181. Принцип неопределенности

Этот принцип указывает, в каких пределах можно пользоваться классическим описанием микрочастицы.

Применимость понятия траектории.

Положим, что мы хотим определить координату микрочастицы в некоторой точке х и нам это удается сделать с точностью Чтобы «увидеть» частицу, нужно применить «микроскоп», работающий при помощи света достаточно короткой длины волны, так как чем меньше тем больше разрешающая способность. В принципе мы можем сделать как угодно малым, для этого придется лишь брать длину волны покороче, чтобы было того же порядка, что и длина волны:

Однако короткая длина волны означает большой импульс фотона. Этот импульс будет передан «рассматриваемой в микроскоп» частице. Частица получит «щелчок» и изменит свой импульс на величину порядка Уменьшая мы будем уменьшать неопределенность в координате но зато будет возрастать неопределенность в наших знаниях Исключая из двух соотношений получим уравнение

выражающее принцип неопределенности. Принцип указывает, что описание траектории микрочастицы имеет физический смысл лишь в том случае, если оно произведено с неопределенностями в значениях координат и импульса вдоль одного и того же направления, удовлетворяющими неравенству

Это замечательное соотношение устанавливает границы применимости языка классической физики по отношению к микрочастице.

Подставляя вместо импульса произведение (что справедливо для скоростей, не очень близких к скорости света), мы получим условие

связывающее неопределенности в координате и скорости вдоль оси х. Правая часть соотношения будет иметь совсем разные порядки величин в зависимости от того, пойдет ли у нас речь об электроне, атоме, молекуле или теннисном мяче.

Для электрона

значит, неопределенности в координате и скорости связаны соотношением

Электрон находится внутри атома (размер Можно ли описать движение электрона в атоме, как если бы электрон был

«обычной» частицей? Используя принцип неопределенности, находим, что см/с. Таким образом, суждения о скорости атомного электрона могут иметь лишь самый общий характер. Лишены содержания понятия траектории электрона в атоме, пути перехода электрона из одного энергетического состояния в другое (см. ниже) и т. д. Короче говоря, у атомного электрона признаки «обычной» частицы малозаметны.

Допустим теперь, что электрон попал в камеру Вильсона и мы грубыми средствами хотим проследить его траекторию с точностью порядка десятых долей миллиметра. Если толщина следа частицы см, то по соотношению неопределенности это — неопределенность поперечной составляющей скорости. Если электрон летит со скоростью хотя бы (а тем более еслй это быстрый электрон), то неопределенность указанного порядка роли не играет и траектория электрона приобретает смысл. Так же мы можем обсуждать пути электронного луча в микроскопе, говорить о траектории электронов в электронно-лучевой трубке, и при этом не придем в противоречие с «классической» картиной.

Протоны, нейтроны, атомные ядра и атомы обладают в тысячи раз большей массой. Возможности классической трактовки этих частиц несколько шире. Так, например, для -частицы, масса которой примерно в 7000 раз больше массы электрона,

Можно ли спрашивать, в каком месте атома проходила через него траектория -частицы, проникшей в вещество? Желая начертить траекторию с точностью см, мы располагаем сведениями о поперечной слагающей скорости с неопределенностью Для быстрой -частицы эта неопределенность незначительна, значит, можно говорить о том, далеко ли от центра атома проходит траектория пронизывающей его -частицы.

В то же время бессодержательны разговоры о траектории протонов и нейтронов в ядрах, так как размер ядра см.

Уже для крупной молекулы, скажем, белковой с молекулярным весом порядка 106, принцип неопределенности теряет значение. Для такой молекулы произведение и о траектории молекулы можно смело говорить в достаточных деталях. Даже хаотическое тепловое движение такой молекулы, средняя скорость которого порядка можно проследить и начертить траекторию центра тяжести молекулы с точностью порядка 1 А.

Не приходится и говорить о том, что даже для пылинки, видимой в микроскоп, принцип неопределенности уже не будет иметь практического значения.

Возможности одновременного измерения двух физических величин.

Не следует думать, что невозможность определения траектории частицы связана с каким-либо несовершенством измерения и что в дальнейшем физика справится с этой задачей. Отсутствие смысла в одновременном идеально точном задании некоторой пары

физических величин является особенностью микрочастиц. Отличие микрочастицы от «обычной» частицы и сказывается в том, что методы описания поведения «обычной» частицы становятся непригодными для микрочастицы. Только для классической частицы имеет смысл одновременное задание и определение координаты и импульса.

Принцип неопределенности имеет более широкое значение, нежели способ прикидки возможности или невозможности построения траектории частицы. Органически входя в математический аппарат квантовой механики, принцип неопределенности позволяет выяснить возможность одновременного измерения любых физических величин, а не только координаты и импульса.

Прежде всего, уточним принцип неопределенности в отношении координаты и импульса. Следует вспомнить, что у частицы имеются три координаты и что вектор импульса имеет три компоненты. Вместо одного соотношения, обсуждавшегося выше, надо написать три соотношения, а именно:

Квантовая механика рассматривает также вопрос о возможности одновременного определения (задания) всех координат по разным осям, а также всех составляющих импульса. Одновременное задание координат или одновременное задание всех трех компонент импульса оказывается возможным (имеющим смысл). Зачем мы подчеркиваем это обстоятельство? Казалось бы, всегда можно определить одновременно три компоненты любого вектора. Детальное рассмотрение показывает, что это не так. Примером вектора, три компоненты которого не могут быть определены одновременно, может служить вращательный импульс частицы (другие термины: момент количества движения, момент импульса).

Пусть частица вращается около некоторой оси с вращательным импульсом Это движение можно рассматривать как совокупность трех вращений около трех взаимно перпендикулярных осей с вращательными моментами Если мы имеем дело с «обычной» частицей, то, разумеется, можно раздельно определить все три компоненты вращательного импульса, поскольку можно проследить за траекторией частицы. Для микрочастицы подобное определение невозможно, а одновременное задание всех трех компонент вращательного импульса бессмысленно. Действительно, допустим на минуту обратное: все три компоненты вращательного импульса известны. Но тогда по трем составляющим можно построить и полный вектор вращательного импульса. Если же это сделано, то этим определена плоскость, в которой движется частица. Но если известна эта плоскость, то мы знаем в точности координату частицы вдоль оси вращения и одновременно отмечаем, что скорость поступательного движения вдоль оси вращения равняется нулю. Это противоречит принципу неопределенности, связывающему координату и импульс.

Таким образом, для микрочастицы характерна невозможность одновременного определения трех компонент ее вращательного импульса. Какие же сведения в отношении вращения могут быть заданы одновременно? Принцип неопределенности отвечает на это следующим образом: любая из компонент и абсолютное значение (длина вектора) вращательного импульса. Из этого правила имеется одно исключение: для микрочастицы может быть установлено полное отсутствие вращения, т. е. равенство нулю вектора вращательного импульса, иначе говоря, равенство нулю всех трех его компонент одновременно.

Энергия и промежуток времени.

Оперируя принципом неопределенности, связывающим координату и импульс частицы, можно предположить, что аналогичное соотношение должно касаться в какой-то мере и энергии. Действительно, в механике обычных частиц для вычисления полной энергии как суммы кинетической и потенциальной, необходимо было знать одновременно и положение частицы и ее скорость. Для микрочастицы это невозможно. Однако полная энергия частицы может быть найдена целиком, без разделения на части, и на основании только что сказанного естественно ожидать, что это может быть сделано с некоторой неопределенностью Если думать, что принцип неопределенности сохранит свою форму, то из соображений размерности следует, что соотношение неопределенности для энергии должно иметь вид

где есть промежуток времени.

Что это за временной интервал и какой смысл надо вложить в соотношение неопределенности для энергии? Под надо подразумевать время, в течение которого микрочастица обладает энергией Неопределенность энергии микрочастицы определяется временем пребывания в этом энергетическом состоянии. Существенных значений неопределенность в энергии может достигнуть лишь в тех случаях, когда время пребывания на данном энергетическом уровне начнет определяться ничтожными долями секунды.

Атомный электрон находится сколь угодно долго на своем самом низком (основном) энергетическом уровне (подробнее см. ниже). Поэтому энергия основного состояния фиксирована вполне жестко. На более высоком уровне электрон задерживается весьма недолго. Энергия его в этом состоянии будет Соответственно с этим частота, излученная атомом, при переходе с более высокого на более низкий энергетический уровень не может быть строго определенной, а лежит в небольших границах Это и наблюдается на опыте — спектральные линии обладают конечной шириной, чем и пользуются для определения так называемых времен жизни микросистемы в возбужденном состоянии. Опыт показывает, например, что ширина спектральных линий в рентгеновской области имеет порядок Тогда время жизни в возбужденном состоянии имеет порядок