§ 235. Тепловые волны

Интересной особенностью тепловых колебаний в кристалле является то обстоятельство, что они осуществляются в виде тепловых волн. Действительно, колебания атомов не могут происходить независимо. Один отклонившийся от положения равновесия атом тянет за собой следующий.

Поскольку кристалл есть ограниченное тело, то в нем образуются стоячие волны. Как и при любых собственных колебаниях, максимальная длина стоячей волны равна удвоенному размеру тела. Границы кристалла должны быть узлами стоячей волны.

Рис. 267.

В свое время (стр. 119) мы изучали упругие колебания твердых тел, рассматриваемых как сплошная среда. Было показано, что в ограниченном твердом теле возникает множество стоячих волн с различными направлениями и частотами. Картина существенно осложняется при учете атомного строения твердого тела. Теоретическое рассмотрение возможных колебательных движений атомов в монокристалле показывает, что тепловое движение в кристалле можно представить как результат наложения волн, где число ячеек, число атомов в ячейке. Число возможных волн равно числу степеней свободы системы атомов, образующих кристалл. Откуда же берутся и что представляют собой эти волн?

Ограничимся рассмотрением цепочки атомов, т. е. «одномерного кристалла». На рис. 267 изображена такая цепочка атомов, «ячейка» которой содержит два атома, отмеченных черными и белыми

кружками. На рисунке не изображено реальное тепловое движение атомов кристалла, имеющее весьма сложный характер, а показаны «элементарные» волны, на которые можно разложить это движение. Теория показывает, что результирующее колебание всегда можно представить в виде суммы гармонических колебаний. Так же как и в случае сплошного стержня, в одномерном кристалле возникнет серия волн различной длины. Если цепочка состоит из тысячи ячеек с периодом а, то возникнет волн длиной 2000 а, 1000 а, (2000/3) а, 500 а, 400 а и т. д. Самая короткая волна имеет длину 2а.

Однако этим не исчерпывается многообразие волн. Каждая из возможных длин волн будет осуществляться в вариантах. Два типа волн одной и той же длины показаны на рисунке. В одном случае решетка атомов совершает колебание как целое. Такая волна называется акустической. Остальные волн совершенно иные: в них атомы разного типа совершают сложное движение друг по отношению к другу, а на синусоиду в каждое мгновение попадают лишь атомы одного типа. Такие колебания называются оптическими, их имеется

На рисунке изображены те волны, которым соответствует колебание атомов в каком-то одном направлении.

Колебания атомов можно всегда разложить на два поперечных и одно продольное. Поэтому волна, идущая в данном направлении и имеющая определенную длину, будет иметь 3 волны акустического типа и оптические. Из всех волн акустических будет две поперечных и одна продольная для каждого направления и каждой длины волны. Сказанное в полной степени справедливо для трехмерного кристалла.

Хотя длины и частоты волн дискретны, можно приближенно воспользоваться рассуждениями, приведенными на стр. 120, и записать число акустических колебаний с частотами меньше в виде

Здесь объем кристалла, а с — скорость волны. Скорости продольной и поперечной волн различны. Поэтому полное число волн, равное надо писать так:

скорость продольной, поперечной волны. Отсюда без труда находим значение максимальной частоты колебаний

Соответствующая длина волны

по порядку величины равна, как и должно быть, периоду ячейки.

Если скорость распространения акустических волн в кристалле известна, то можно вычислить значение которой во многом определяет поведение кристалла.

Как уже говорилось выше, поведение теплоемкости зависит от соразмерности энергетической ступеньки и энергии теплового Если то теплообмен возбуждает любые колебания и волны в кристалле, все квантовые переходы возможны и благодаря этому квантовый характер теплообмена не заметен. Про такой кристалл говорят: его характеристическая температура много меньше температуры опыта, Напротив, если характеристическая температура 6 то у кристалла возбуждены лишь колебания с малыми частотами; большие энергетические ступеньки не могут быть преодолены тепловыми «толчками».

Примеры характеристических температур (в Кельвинах) ряда кристаллов:

Для таких веществ как свинец и бензол комнатная температура является «высокой». Эти кристаллы дают поэтому уже горизонтальный участок кривой теплоемкости кал/моль, рис. 266). С другой стороны, для бериллия и алмаза комнатные температуры являются низкими. Тепловые колебания этих веществ возбуждены незначительно и теплоемкость их существенно меньше 6 кал/моль.

Приведенные значения характеристических температур 6 позволяют вычислить значение максимальной частоты колебаний

Видно, что предельные частоты тепловых колебаний, как это и было предположено в примере на стр. 578, лежат на границе между инфракрасным и радиодиапазонами