§ 5. Приложение основного закона механики к движению по окружности

Движение по окружности является ускоренным движением. Если тело движется по окружности с неизменной угловой скоростью, то его ускорение равно по величине и направлено по радиусу к центру.

Равномерно вращающееся по окружности тело может находиться под действием любого числа как угодно направленных сил. Однако

из основного закона механики следует, что векторная сумма всех этих сил, или, короче, результирующая сила, должна быть направлена по радиусу к центру (параллельно ускорению), а по величине должна иметь значение

Результирующую силу, действующую на вращающееся равномерно по окружности тело, называют центростремительной силой. Еще раз подчеркнем, что результирующая сила направлена всегда вдоль ускорения, но не вдоль скорости, т. е. в нашем случае сила, создающая равномерное движение по окружности, направлена вдоль радиуса к центру окружности, но не вдоль касательной к круговой траектории. Роль центростремительной силы заключается в том, что она непрерывно отклоняет тело от прямолинейного пути, по которому это тело двигалось бы по инерции в отсутствие действующей силы.

Пример. Несбалансированная частица массы связанная с лопаткой современной паровой турбины (3000 об/мин, радиус около испытывает центростремительную силу дин в граммах). Вес частицы равен Таким образом, центростремительная сила превосходит вес частицы в раз.

Если тело приводится в ускоренное движение, то в соответствии с правилом действия и противодействия ускоряемое тело действует на другие тела (играющие роль связей), заставляющие его двигаться ускоренно, а не по инерции. Силу, действующую на связи со стороны ускоряемого тела, мы назвали инерционным сопротивлением. Такая сила существует, разумеется, и при движении по окружности ее называют центробежной силой.

Центробежная сила равна по величине центростремительной силе и противоположна ей по направлению. Центробежная сила приложена к связям тела, участвующего в круговом движении, или, иначе говоря, приложена к тем телам, которые заставляют рассматриваемое тело двигаться по окружности и мешают ему двигаться прямолинейно и равномерно. Как и центростремительная сила, центробежная сила является результирующей — суммой всех реакций, которые оказывает вращающееся тело на связывающие его тела.

Рассмотрим несколько примеров, причем ограничимся простейшими случаями, когда круговое движение возникает благодаря взаимодействию двух тел. Если тело А мешает телу двигаться прямолинейно и равномерно, а заставляет его двигаться равномерно по окружности, то сила является центростремительной, а сила центробежной. Такое простейшее взаимодействие осуществляется между телом, положенным на подставку в форме круглой чаши, вращающейся около своей оси в горизонтальной

плоскости, и самой подставкой (рис. 10). Если трение не очень велико и подставка вращается быстро, то тело соскользнет к борту подставки. В этом случае взаимодействие тела и подставки состоит в следующем: борт чаши действует на тело в направлении по радиусу к центру (центростремительная сила), а тело с равной по величине силой давит на борт в направлении по радиусу от центра (центробежная сила).

Вернемся теперь к начальному моменту этого опыта. Тело лежит на подставке и подставка только только приведена во вращение. Если бы между телом и подставкой не было взаимодействия, то тело оставалось бы на месте, а подставка вращалась бы под телом. Наличие трения покоя приводит к иному. Вместе с подставкой увлекается во вращение и тело. При этом, как указывалось в предыдущем параграфе, сила трения покоя будет направлена по радиусу к центру: сила трения покоя является единственной силой, заставляющей тело вращаться, т. е. сила трения является в этом случае центростремительной силой. Поэтому

Рис. 10.

Центробежная сила действует со стороны тела на подставку, она направлена по радиусу от центра. Если представить себе для наглядности (однако надо помнить, что это очень грубая картина) трение как результат зацепления двух шероховатых поверхностей, при котором выпуклости поверхности одного тела входят во впадины поверхности другого тела, то центробежная сила представится нам силой, действующей вдоль радиуса от центра на зацепляющие места поверхности подставки.

Взаимодействие трением, удерживающее тело неподвижным по отношению к подставке, может быть только меньше некоторого максимума При увеличении скорости вращения чаши наступит момент, когда произведение станет больше, чем Тогда участие тела в круговом движении с ускорением станет невозможным. Действительно, чтобы обеспечить телу участие в круговом движении с угловой скоростью на него надо подействовать с силой Если взаимодействие трения не может обеспечить этой силы, а следовательно, и движения по кругу радиуса со скоростью то тело сдвинется с места по отношению к подставке и между телом и подставкой взаимодействие трения покоя перестанет осуществляться.

Как только взаимодействие тела с подставкой прекратилось и тело стало свободным, начинается прямолинейное и равномерное движение с той векторной скоростью, которой тело обладало в момент отрыва. Так как скорость тела, движущегося по окружности, направлена по касательной, то эта линия и будет линией движения

освободившегося тела. Наиболее отчетливым образом тангенциальные пути отрывающихся от вращающегося тела частиц можно демонстрировать на опыте с точильным кругом.

Сделаем несколько замечаний о процессе вращения камня на веревке (рис. 11). Чтобы в обычных условиях вращать равномерно на веревке камень, нужно придать телу не только центростремительное ускорение, но и тангенциальное. Последнее необходимо для преодоления трения о воздух.

Рис. 11.

Результирующее ускорение, а следовательно, и сила не направлены вдоль радиуса, а образуют острый угол с направлением движения. Кисть руки совершает вращательное движение, а нить направлена в каждый данный момент вдоль касательной к окружности, описываемой рукой.

В качестве еще одного примера кругового движения рассмотрим вращение двух притягивающихся тел с одинаковой угловой скоростью вокруг общего центра. Нетрудно заставить с помощью центробежной машины вращаться около общей оси два груза равной массы, связанных ниткой.

Рассмотрим сначала первый груз на нитке, зацепленной за ось вращения. Центробежная сила, действующая на ось, равна Второй груз действует на ось с силой Если эти силы равны, то нитки можно связать друг с другом; при этом ничего не изменится (рис. 12). Отсюда ясно, что условием устойчивого вращательного движения двух тел, связанных ниткой, является равенство центробежных сил, действующих на нитку со стороны этих тел:

Таким образом,

т. е. устойчивое вращение происходит лишь в том случае, если расстояния тел до оси вращения обратно пропорциональны массам тел.

Точка, делящая линию длиной в отношении (см. рис. 12), называется центром инерции (см. § 15). Можно

утверждать, что устойчивое вращение двух связанных тел происходит вокруг точки, являющейся центром инерции системы.

Мы говорили о двух телах, взаимодействие которых осуществляется при помощи нитки. Однако все сказанное совершенно справедливо и в том случае, если речь идет о двух телах, притягивающихся согласно закону всемирного тяготения или о притягивающихся положительном и отрицательном электрических зарядах.

Рис. 12.

Взаимодействие любой природы между парой притягивающихся тел может, таким образом, привести к устойчивому вращению вокруг точки, являющейся центром инерции. Это взаимодействие представляется двумя силами, приложенными к обоим притягивающимся телам. Силы направлены друг другу навстречу и численно равны. (Обычно в этом месте у неподготовленного читателя опять возникает вопрос: почему же тела не притянутся друг к другу? Еще раз подчеркиваем: силы параллельны ускорениям, но не скоростям, а в круговом движении ускорения направлены по радиусу к центру вращения.) Так как на каждое тело действует одна-единственная сила, то обе они являются центростремительными. В то же время обе эти силы являются и центробежными. Действительно, тело А играет роль связи для тела Б, и наоборот. Значит для тела А сила а является центростремительной, а сила центробежной, и наоборот. Впрочем, применение понятия центробежной силы в данном случае носит совершенно формальный характер. Эти строчки были нужны лишь для того, чтобы подчеркнуть аналогию, существующую между системой шаров, связанных ниткой, и системой тел, «связанных» силами притяжения.

Планетная система являет нам пример устойчивого вращения притягивающихся тел. Допустим, что у Солнца существовала бы одна лишь планета Земля. Тогда центр вращения делил бы линию, соединяющую Солнце с Землей, в отношении

Таким образом, говоря в повседневной жизни, что Земля вращается вокруг Солнца, мы не совершаем большой ошибки и не совершили бы ее даже и в том случае, если бы Земля была единственным спутником Солнца.