§ 11. Потенциальная энергия

Рассмотрим некоторые явления, при которых произведенная работа не сопровождается изменением скорости тела. Два типа примеров будут занимать наше внимание: первые относятся к упругой деформации тел, вторые описывают события, происходящие при движении тел в поле тяжести и в электрическом поле. Сейчас мы покажем, что в обоих этих случаях мы сталкиваемся с превращением работы в особую разновидность энергии, называемую потенциальной энергией.

Сначала остановимся на явлениях упругой деформации. Опыт показывает, что при любой упругой деформации — растяжении, сжатии, изгибе и т. д. — можно указать такую функцию состояния, которая возрастает как раз на величину произведенной над телом работы. Эта функция состояния или, иначе говоря, функция свойств тела и степени деформации, носит название потенциальной энергии упругости.

Покажем наличие такой энергии лишь для одного примера упругой деформации — линейного растяжения или сжатия. Аналогичные доказательства возможны для любых иных видов упругой деформации.

Пусть некоторая сила (скажем, мускульная) очень медленно растягивает твердое тело (пружину). Работа, затраченная на растяжение тела от длины до длины где длина недеформированной пружины, равна

Мускульная сила уравновешивается в каждый данный момент силой упругости пружины. Последняя же для не очень больших растяжений пропорциональна деформации

В выражение для работы мы должны подставить среднее значение силы Тогда получим

т. е. работа против сил упругости затрачивается на возрастание величины Эту величину и следует принять за меру энергии упругости. Величину

будем называть потенциальной энергией упругости.

Совершенно такой же вид имеют формулы потенциальной энергии упругости для других видов деформации, характеризует жесткость тела по отношению к конкретному виду деформации, является мерой деформации (например, угол закручивания, угол сдвига и т. п.).

Величина является энергией именно в том смысле, о котором мы говорили в конце § 10. Каким бы способом и с какой бы быстротой ни было произведено деформирование тела, одной и той же затраченной работе будет соответствовать всегда одно и то же значение приращения величины Это и значит, что является мерой энергии, а именно потенциальной энергии упругости.

Примеры. 1. Потенциальная энергия куска стальной проволоки (модуль Юнга имеющей длину поперечное сечение и растянутой на 1 см, будет

2. Для резины модуль Юнга Камень с массой выпущенный из рогатки, поднимается на высоту Для этого ему должна быть сообщена энергия Пусть при этом резиновый жгут растягивается на 40 см при первоначальной длине 40 см. Найдем требуемое сечение резинового жгута

Силы тяжести обладают той же особенностью, что и силы упругости, а именно: работа, затраченная на подъем тела в поле тяжести, идет на изменение функции состояния тела. В этом случае интересующая нас функция зависит от расположения данного тела по отношению к притягивающим его телам. Она носит название потенциальной энергии тяготения.

Покажем наличие такой энергии, прежде всего, для тела, находящегося вблизи земной поверхности. Из точки 1 тело переместилось в более высокую точку 2 по какому-то криволинейному пути. Разобьем эту траекторию на малые кусочки и заменим кривую линию ломаной. Это можно сделать сколь угодно точно. Работа,

затраченная на перемещение тела вдоль одного из таких прямолинейных отрезков длиной равна

где прирост высоты. Так как неизменно на всем пути движения, то при сложении по всему пути переноса выносится за скобку (при интегрировании выносится за знак интеграла), что дает для всей работы

где высоты точек 1 и 2.

т. е. работа перемещения равняется приросту произведения которое является мерой потенциальной энергии тяготения для этого простого случая. Вполне ясно, что

является энергией и отвечает полностью смыслу, вкладываемому нами в это слово. Каким бы путем ни производилась работа, по какому пути ни перемещалось бы тело и с какой быстротой оно ни двигалось бы, работа перемещения тела из точки 1 в точку 2 будет всегда одинаковой, так как прирост энергии зависит лишь от местонахождения этих точек, в нашем простейшем случае — от их высот.

Так как работа перемещения тела в поле тяготения не зависит от формы пути, то работа перемещения по замкнутому контуру будет равна нулю.

Заметим, что начало отсчета роли не играет. Если условиться отсчитывать от поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне колодца, будет отрицательной.

Написанная выше формула непригодна для тел, далеких от Земли, например для Луны. Действительно, как было выяснено в § 2, для больших расстояний приближенная формула силы тяготения должна быть заменена точной

Рассчитаем работу, производимую силами тяготения. Условимся работу, совершаемую силами системы, считать положительной, а работу против сил системы — отрицательной. Допустим, что два тяготеющих тела сближаются вдоль линии действия сил на бесконечно малый участок пути — (минус, так как уменьшается). При этом

Следовательно,

Работа идет за счет уменьшения величины являющейся мерой энергии тяготения в общем случае:

Величина

представляет потенциальную энергию тяготения в общем случае.

Потенциальная энергия тяготения равна нулю, если тела находятся на бесконечно большом расстояний друг от друга. При сближении тел растет по абсолютной величине, но так как отрицательно, то, как и по приближенной формуле для тел, находящихся вблизи Земли, потенциальная энергия тем меньше, чем ближе друг к другу притягивающиеся тела. Разумеется, при желании можно изменить начало отсчета и сделать эту величину положительной в интересующем нас интервале значений.

Нетрудно показать соотношение между общей формулой для и ее частным случаем Действительно, заменяя на где радиус Земли, получим:

( масса Земли). Но малая величина, поэтому с достаточной точностью откуда

Изменив начало отсчета а именно приняв за нуль потенциальную энергию тела, находящегося на поверхности Земли, приходим к формуле

Пример. Чтобы яснее представить себе смысл полученных результатов, рассчитаем потенциальную энергию тела с массой на поверхности Земли и на расстоянии над поверхностью Земли. Потенциальная энергия на поверхности Земли

Потенциальная энергия на расстоянии

Из расчета видно, что: 1) потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли все время отрицательна и увеличивается по мере удаления от Земли (так как мы условились, что она стремится к нулю при изменения потенциальной энергии поднимаемого над Землей тела, вообще говоря, не описываются формулой

Действительно,

тогда как расчет по формуле дает Однако в тех случаях, когда речь идет о подъемах на высоту радиус Земли), можно пользоваться упрощенной формулой

Весьма схожи между собой выражения потенциальной энергии тяготения и потенциальной энергии электрического взаимодействия зарядов.

Рассмотрим два одноименных электрических заряда находящихся на расстоянии друг от друга. Заряды взаимодействуют (отталкиваются) по закону Кулона. Поэтому, сближая их на малый отрезок мы произведем работу, равную (слева знак минус, так как работа совершается против сил системы; справа тоже знак минус, так как происходит сближение и отрицательно). Вычисление, ничем не отличающееся от только что проведенного для сил гравитационного тяготения, дает для энергии электрического взаимодействия зарядов (для краткости ее называют кулоновской) выражение т. е. и здесь

Энергия взаимодействия разноименных зарядов будет отрицательной и будет вести себя, как гравитационная. Энергия одноименных зарядов равна нулю на бесконечности и растет по мере сближения зарядов.

Этими примерами потенциальной энергии мы можем ограничиться, хотя в разных случаях в рассмотрение могут быть введены и иные функции состояния тела.

Потенциальная энергия появляется всегда, когда между телами или частицами, входящими в рассматриваемую систему, действуют силы, зависящие от расстояний между телами. Потенциальная энергия есть энергия взаимодействия тел. Если система состоит из множества тел или частиц, то можно говорить о ее суммарной потенциальной энергии, которая складывается из энергий взаимодействия между всеми частицами (каждой с каждой). Уже в случае четырех частиц потенциальная энергия будет состоять из шести слагаемых, так как надо учесть взаимодействие первого тела со вторым, третьим и четвертым, второго с третьим и четвертым и, наконец, третьего с четвертым.

В механике учитывают только потенциальную энергию сил, действующую между разными телами. Если тела — сложные и состоят из множества частиц, то потенциальная энергия взаимодействия этих частиц считается неизменной во время механических явлений. Потенциальная энергия взаимодействия частиц, из которых состоит тело, входит составной частью во внутреннюю энергию тела Если же имеют место изменения внутренней энергии тела, то явление должно быть рассмотрено с точки зрения законов термодинамики