§ 74. Распределение молекул по скоростям

Распределение молекул по скоростям, выведенное впервые теоретическим путем выдающимся, английским физиком Максвеллом, можно рассматривать как следствие закона Больцмана.

Число молекул, скорости которых лежат в интервале от до от до и от до будет согласно закону Больцмана равно

Подразумевается, что мы интересуемся распределением скоростей в небольшом объеме газа, а распределение молекул по координатам учитывается постоянным множителем С, который сейчас не представляет, для нас интереса.

Написанная формула учитывает распределение молекул как по величинам, так и по направлениям скоростей. Однако распределение по направлениям нам известно. Ведь числа молекул, летящих в том или ином направлении, должны быть одинаковы при полном хаосе в движении молекул. Нас интересует число всех молекул, независимо от их направления, имеющих скорость от до где

Если построить трехмерный график, по осям которого откладывать проекции скоростей молекул разбить мысленно это пространство на бесконечно малые кубики объема то можно наглядно представить себе данные о распределении скоростей молекул в виде чисел молекул, приходящихся на один кубик. Формула Больцмана и дает нам число молекул для каждого из кубиков. Однако, всматриваясь в формулу, мы видим, что число молекул будет одинаковым для всех кубиков, попадающих внутрь шарового пояса с радиусом от до ведь в экспоненциальный множитель формулы входит лишь абсолютное значение скорости. Число молекул, обладающих скоростями в пределах от до будет пропорционально объему шарового слоя, таким образом, если число молекул, заключенных в одном кубике, равно

то число молекул, заключенных в шаровом поясе, т. е. обладающих скоростями в пределах от до представится формулой

Какой же характер имеет эта зависимость? При число молекул обращается в нуль. Ясно, что кривая должна обладать максимумом. Обычными правилами найдем максимум множителя при А и. Беря производную от этого выражения и приравнивая ее нулю, получим

откуда значение скорости, при которой функция распределения имеет максимум, равно

Что же это за скорость? Так как по оси ординат кривой распределения отложено число молекул, имеющих скорость то с является своеобразным рубежом: молекулы, движущиеся со скоростями как большими, так и меньшими с, встречаются реже молекул, движущихся со скоростями с.

Эта скорость называется наиболее вероятной. Кривая распределения молекул газа по скоростям (распределение Максвелла) приведена на рис. 87.

Полезно сопоставить формулы наиболее вероятной скорости и средней квадратичной:

Средняя скорость больше вероятной. Причина ясна из вида кривой распределения: так как кривая распределения уходит далеко вправо, то туда же сдвинуты и средние значения скорости.

Приведем некоторые числа, характеризующие распределение скоростей газовых молекул.

Рис. 87.

Число молекул со скоростями, близкими к наиболее вероятной с, больше числа молекул со скоростями, близкими к средней квадратичной, в 1,1 раза; больше числа молекул со скоростями, близкими к 0,5 в 1,9 раза; больше числа молекул со скоростями, близкими к 2 с, в 5 раз (см. рис. 87).