§ 17. Явления отдачи

Закон сохранения импульса помогает легко разобраться в основных чертах явления отдачи при выстреле, реактивном движении и при рассмотрении других аналогичных проблем.

Рассмотрим, прежде всего, явление отдачи, происходящее в системе отсчета, где в начальный момент тела покоились. В случае выстрела из орудия такое рассмотрение вполне естественно. Если в начальный момент система, состоящая из двух или более тел, покоится, то суммарный импульс ее равен нулю. Какие бы события далее ни произошли, равенство нулю суммарного импульса продолжает иметь место. Если поэтому в какое-то мгновение происходит взрыв, в результате которого система делится на части с массами которые разлетаются со скоростями то сумма импульсов разлетающихся тел должна по-прежнему равняться нулю.

Если речь идет о выстреле из орудия (система делится на две части), то условие равенства нулю импульса этой системы из двух тел имеет вид здесь малые буквы относятся к одному телу, скажем снаряду, а большие — к другому, к орудию. Разделение системы на две части может происходить при разлете частей только вдоль общей прямой линии. Поэтому векторные значки можно отбросить и записать условие в виде Скорости орудия и снаряда должны быть обратно пропорциональны их массам. Итак, явление отдачи будет ощущаться тем резче, чем больше масса снаряда по отношению к массе орудия.

Чрезвычайно большой интерес представляют явления «непрерывной отдачи», имеющие место в реактивном движении. Подобные явления составляют своеобразную главу механики, которую можно назвать механикой переменной массы. Они" осуществляются не только в реактивном самолете. Напротив, можно указать ряд обыденных явлений, в которых мы имеем дело с подобным движением. В качестве примера достаточно указать рулон разматывающейся бумаги или падение непрерывно конденсирующейся в атмосфере капли (см. пример в конце параграфа). Основания механики переменной массы были заложены в конце XIX в. профессором И. В. Мещерским. Не имея возможности останавливаться на его работе, мы рассмотрим лишь одну единственную проблему этой области, касающуюся возможной скорости движения ракеты.

Ракета движется со скоростью и в какое-то мгновение выбрасывает некоторую порцию горючего газа с массой Масса ракеты естественно уменьшится на эту величину. Если скорость истечения газов обозначить через и (это скорость не по отношению к ракете, а по отношению к той же инерциальной системе отсчета, в которой описывается скорость движения ракеты), то импульс отделившегося от ракеты вещества будет равен и Ракета уменьшит свою массу и увеличит свою скорость на величину Импульс ракеты после выброса горючего будет равен В соответствии с

законом сохранения импульса мы можем приравнять импульс ракеты до выброса порции горючего и импульс системы после истечения порции газа. Последний будет равен разности импульса ракеты и массы горючего. Итак,

откуда с точностью до бесконечно малых второго порядка

Но есть относительная скорость истечения горючих газов (по отношению к ракете). Обозначая эту скорость через с, мы приходим к следующему уравнению для приращения скорости ракеты: Знак минус поставлен, чтобы учесть возрастание скорости при убывании массы. Мы видим, что прирост скорости равен доле потерянной массы, умноженной на относительную скорость истечения горючего.

Считая скорость истечения газов по отношению к ракете величиной постоянной, мы легко проинтегрируем написанное уравнение. Если масса ракеты была когда скорость ракеты была и стала равной тогда, когда скорость ракеты изменилась до и, то интегрирование дает

т. е.

Последняя формула была впервые получена первым создателем конструкции ракеты и исследователем теории межпланетного сообщения Циолковским.

Переходя к десятичным логарифмам и вводя для разности масс ракеты, т. е. для массы отброшенного горючего, обозначение получим формулу Циолковского в виде

(начальную скорость полагаем равной нулю).

Для скорости истечения газов расчет по формуле дает такие характерные цифры:

Как видно из этой таблицы, скорость ракеты возрастает много медленнее с количеством выброшенного горючего, чем хотелось бы. Для придания ракете значительной скорости необходимо

выбросить огромное количество горючего по отношению к начальной массе ракеты. Так, для придания скорости от массы ракеты должна остаться меньше чем часть.

Чтобы ракета вышла за пределы земного тяготения, ей нужно придать скорость, равную примерно Эта цифра получается следующим простым рассуждением. Для отрыва от Земли ракета должна обладать такой кинетической энергией, которой хватило бы для производства работы перемещения тела с земной поверхности в бесконечность. Но эта работа против сил тяжести равна разности потенциальных энергий ракеты на поверхности Земли и в бесконечности. Так как в бесконечности потенциальная энергия равна нулю, то условие отрыва от Земли имеет следующий простой вид:

где масса и радиус Земли. Умножив числитель и знаменатель правой части равенства на вспоминая формулу ускорения силы тяжести на поверхности Земли сокращая на массу ракеты, находим условие отрыва от Земли: что и дает цифру около

Если считать, что скорость истечения газов то можно найти по формуле Циолковского отношение Оно будет равно 244. Желая оторвать ракету от Земли, мы должны придать ей такую конструкцию, чтобы в межпланетное путешествие отправить всего лишь долю той массы, которой обладала покоящаяся ракета. Если бы эту скорость удалось повысить в три раза, т. е. довести до то отношение упало бы до 5,3. Но это, видимо, пока нереально, судя хотя бы по сообщению прессы в декабре 1968 г. о рейде «Аполлона-8» вокруг Луны: «в земную атмосферу вернется отсек весом 5,3 тонны — все что останется от корабля в 3100 тонн».

Меньшие трудности приходится преодолеть при выведении на орбиту спутника Земли. Для создания искусственного спутника требуется меньшая начальная скорость. Если полагать, что ускорение силы тяжести на тех высотах, где мы желаем создать орбиту спутника, примерно то же, что и на земной поверхности, то закон механики, записанный для искусственной планеты, будет иметь вид а так как спутник движется по окружности, то центростремительное ускорение Отсюда находим значение скорости обращения спутника и т. е. Если такая скорость будет придана ракете, то она превратится в земного спутника. Из приведенной выше таблицы, рассчитанной для скорости истечения газа в мы видим, что значение нужное для придания ракете скорости равно 54.

Пример движения тела с переменной массой. Пусть водяная капля падает в насыщенной водяными парами атмосфере. В момент времени капля имеет массу и радиус За время объем капли, а следовательно, и масса (при плотности, равной 1) увеличатся на величину Следовательно, скорость возрастания массы В то же время из физических соображении ясно, что скорость конденсации водяного пара должна быть пропорциональной конденсирующей поверхности Отсюда где некоторый коэффициент пропорциональности.

Составим уравнение движения этой капли в поле тяготения Земли. Нас интересует изменение импульса которое по основному закону механики равно где Имеем т. е. Подставляя сюда выражения длят и получим Интегрирование этого уравнения показывает, что капля падает с постоянным ускорением Сопротивление воздуха в расчет не принималось.