§ 103. Эквивалентность токов и магнитов

Мы обращали внимание на сходство между выражениями для вращательных моментов, действующих на магнитную стрелку и контур тока. Действительно, поведение этих двух систем во внешнем поле чрезвычайно похоже. Если характеризовать каждую из систем стрелкой ее магнитного момента, то сходство будет еще более полным. Каждая система стремится расположиться в магнитном поле так, чтобы ее магнитный момент совпал с силовыми линиями поля. Если магнитный момент отклонен от положения устойчивого равновесия, то на систему действует вращательный момент для магнитной стрелки и для контура тока. Соответственно потенциальные энергии этих двух систем представятся формулами

Так как то становится очевидным различие между формулами: они переходят одна в другую введением в формулы магнитной проницаемости. Отсюда следует, что в отношении механического воздействия магнитная стрелка с моментом эквивалентна контуру тока с моментом

Однако сходство этих двух систем еще не кончается на сказанном. Мы покажем сейчас, что магнитная стрелка и контур тока обладают собственными полями, совпадающими с точностью до постоянного множителя. Такое сходство имеет место на расстояниях, существенно больших размера системы. Докажем это для точки

пространства, лежащеи на линии магнитного момента на расстоянии от центра системы. Поле магнита для такой точки было уже вычислено, оно равно Остается найти поле кругового тока на его оси.

На рис. 114 произведено построение векторов напряженности, создаваемых двумя элементами длины окружности, пересекающими чертеж. Векторы напряженности направлены перпендикулярно к соответствующему элементу тока и к радиусу-вектору, т. е. лежат в плоскости чертежа. В какую именно сторону смотрит вектор напряженности, следует определить либо при помощи правила векторного произведения, либо при помощи правила буравчика (что в общем одно и то же).

Рис. 114.

Элементарное поле равно в рассматриваемом случае так как элемент тока и радиус-вектор образуют прямой угол. Сложим изображенные на рисунке два вектора. Для поля, созданного двумя «противоположными» элементами, получим

смысл обозначений ясен из чертежа. Такую же величину поля даст любая пара «противоположных» элементов. Поэтому полное поле мы получим, заменив в последнем выражении длину элемента на длину половины окружности па. Напряженность поля кругового тока на его оси на расстоянии от тока представится формулой

Но где есть момент кругового тока. Следовательно, а магнитная индукция

Этим доказано, что магнитный диполь и контур тока эквивалентны не только в отношении действующих на них сил, но и в отношении создаваемых ими полей. Эквивалентность имеет и здесь тот же характер. Чтобы заменить магнитную стрелку с моментом нужно взять контур тока с моментом

В вакууме и для системы и принцип эквивалентности еще проще: магнитная стрелка с моментом эквивалентна контуру тока с таким же магнитным моментом.

Примеры. 1. Вернемся к примеру на стр. 242. Рассчитаем магнитную индукцию того же магнита в системе

в полном соответствии с результатом на стр. 242.

2. Контур с током имеющий площадь создает на расстоянии см вдоль оси, перпендикулярной к его плоскости, магнитное поле с напряженностью