§ 269. Электронный газ

Из предыдущего ясно, что для теории твердого тела представляют интерес лишь верхние энергетические полосы, поскольку электроны, находящиеся на более низких уровнях, практически не принимают участия во взаимодействии атомов. Каким образом можно описывать поведение электронов верхних полос? Так как речь идет об огромном числе электронов, то возникает естественное соображение о рассмотрении совокупности электронов методами статистической физики как своеобразного газа.

Состояние каждого электрона газа можно задать точкой в пространстве импульсов Направление движения электрона совпадает при таком изображении с радиусом-вектором Энергия зависит от импульса электрона. В кристалле энергия электрона будет разной для разных направлений движения. Отвлечемся пока от этого обстоятельства и допустим, что электроны ведут себя как свободные частицы. Несмотря на крайнюю грубость такого предположения (т. е. несмотря на пренебрежение потенциальной энергией поля, в котором движутся электроны, а также пренебрежение взаимодействием электронов), следствия из него хорошо характеризуют — по крайней мере качественно поведение электронов твердого тела, образующих полосу энергии.

Если электроны свободны, то связь между энергией и импульсом дается формулой Это значит, что в пространстве импульсов поверхность равной энергии является сферой. Принято называть эту сферу именем итальянского физика Ферми. Как мы видели

в предыдущем параграфе, из опыта можно найти -максимальную энергию электронов в полосе. Можно сказать поэтому, что состояния электронного газа заключены в сфере радиуса . Таким образом, для поверхности Ферми уместно и другое название: поверхность максимальной энергии.

Чтобы проверить качественную справедливость теории, можно оценить число электронов, входящих в полосу, по значению Рассуждаем следующим образом. Согласно принципу неопределенности проекция импульса частицы не может быть определена в куске металла линейного размера с большей точностью, чем Поэтому понятие точки пространства импульсов должно быть заменено понятием ячейки этого пространства объемом где V — объем рассматриваемого куска металла. Одно из основных положений теории состоит в предположении, что такая ячейка представляет квантовое состояние и что в ней может находиться не более двух электронов с противоположно направленными спинами. Если в объеме V в рассматриваемой полосе имеется электронов, то занято ячеек, т. е. объем Это есть объем сферы Ферми радиуса Значит,

Из уравнения можно найти вполне разумные числа Это показывает, что сделанные предположения в какой-то мере отражают истину.

Пример. Опыт дает порядок максимальной энергии в металле Отсюда находим т. е. максимальная скорость электронов в металле будет иметь порядок

Тогда число электронов в единице объема будет по порядку величины равно

Проведенные рассуждения справедливы для температуры абсолютного нуля. При подъеме температуры электроны могут переходить в ячейки пространства импульсов, которым соответствует большая энергия. При этом такой переход будет совершаться электронами, расположенными в ячейках вблизи поверхности Ферми (иначе нужна слишком большая энергия перехода, что маловероятно), и границы сферы будут расплываться. Только при очень значительных температурах возбуждение может захватить электроны низких энергий. По мере увеличения температуры происходит уменьшение степени вырождения электронного газа. Электронный газ сильно вырожден, в особенности при низких температурах. Термин «вырождение» означает, что одной и той же энергией обладают разные квантовые состояния.

Можно рассчитать распределение электронов по энергиям для данной температуры. Оно отличается от распределения Больцмана. По закону Больцмана при абсолютном нуле температуры энергия электронов должна равняться нулю. С точки зрения новой теории энергия электронов при абсолютном нуле весьма велика - к этому нас привел принцип Паули. Учитывая принцип Паули, можно построить новую статистику (статистика Ферми — Дирака), которая вместо функции приводит к выражению

где максимально возможная при абсолютном нуле энергия электронов. Этот множитель, помноженный на распределение электронов при абсолютном нуле, дает распределение электронов при любой температуре.

Рис. 299.

На рис. 299 показан ход функции Ферми — Дирака в зависимости от <§ для значений

Необходимо обратить внимание на наличие разных статистик для разных частиц. Для молекул применяется статистика Больцмана, для фотонов — статистика Бозе — Эйнштейна, для электронов (и других частиц со спином статистика Ферми — Дирака.

Различие статистических подходов состоит в разных способах распределения частиц по возможным состояниям.

Пусть имеются два возможных состояния, в которых надо разместить две частицы. Тогда в статистике Больцмана, в которой частицы обладают индивидуальностью, надо учесть следующие возможности: 1) две частицы в первом состоянии; 2) две частицы во втором состоянии; 3) первая частица в первом состоянии, вторая —

во втором; 4) вторая частица в первом состоянии, первая — во втором. Всего, таким образом, четыре возможности.

В статистике Бозе — Эйнштейна частицы неразличимы. Поэтому имеются три возможности: 1) две частицы в первом состоянии; 2) две частицы во втором; 3) одна частица в первом и одна во втором.

В статистике Ферми — Дирака учитывается принцип Паули: в одном состоянии может быть одна частица. Число возможных распределений сокращается до единицы: по одной частице в каждом из двух состояний.

Итак, внешние электроны атомов твердого тела ведут себя как электронный газ. Это — весьма своеобразный газ, и частицы его подчиняются статистике Ферми — Дирака.