§ 27. Вынужденные колебания

Если тело выведено из положения равновесия и затем предоставлено самому себе, то колебания его происходят с собственной частотой, не зависящей от характера возбуждения, а определяющейся лишь свойствами системы. Колебания тронутой струны имеют одну и ту же частоту вне зависимости от того, щипком или ударом ее заставили звучать.

В то же время имеется ряд способов, при помощи которых телу можно «навязать» колебания с внешней частотой. Такие вынужденные колебания можно осуществить, если создать связь между двумя телами, способными колебаться. Одно из них будет вынуждать колебаться другое. Неточно уравновешенный мотор совершает колебания, которые передаются фундаменту; фундамент будет совершать вынужденные колебания. Можно проделать такой опыт: карманные часы кладутся в маленькую коробку, которая подвешивается на трех нитях; коробка приходит в состояние вынужденного колебания. На рис. 41 показано устройство, при помощи которого можно вращением эксцентрика привести маятник в состояние вынужденных колебаний. Во всех этих случаях на тело действует периодическая сила, меняющаяся с некоторой частотой такую силу уместно назвать внешней.

Вынужденные колебания устанавливаются не сразу. Должно пройти некоторое время, пока связанное с колебательной системой тело само придет в колебание. В конце концов установится какая-то амплитуда, а частота колебания будет точно равна

Наличие у тела собственной частоты колебания все же скажется на явлении вынужденных колебаний.

Рис. 41.

Рис. 42.

Точнее, как мы сейчас увидим, существенно отличие собственной частоты от внешней. На рис. 42 показана зависимость амплитуды вынужденных колебаний от отношения для трех систем, отличающихся трением. При совпадении внешней частоты с собственной амплитуда вынужденного колебания максимальна. Это явление широко известно под названием резонанса.

Кривые, изображенные на рис. 42, могут быть найдены теоретически. Уравнение движения тела, совершающего вынужденные колебания под действием периодической внешней силы имеет вид

Нетрудно показать подстановкой, что смещение колеблющейся точки будет удовлетворять уравнению

где амплитуда

а сдвиг фазы удовлетворяет уравнению

Учитывая, что подставим эти величины в уравнение движения. После простых преобразований, группируя члены, содержащие и получим

Так как полученное равенство должно выполняться для любого момента времени, мы должны потребовать, чтобы коэффициенты при равнялись нулю. Таким образом, получаем два уравнения для определения

Возводя оба уравнения в квадрат и суммируя, получим

где частота собственных колебаний. Из второго уравнения находим сдвиг фазы

Из первой формулы следует, амплитуда А зависит от следующим образом: при амплитуда растет с увеличением при достигает максимума и далее падает. Эффект (острота резонанса) будет тем более резким, чем меньше коэффициент сопротивления а. При малом трении резонанс разрушает систему: при резонансная амплитуда обращается в бесконечность. Такая возможность должна учитываться строителями. Чтобы обеспечить нечувствительность сооружения к колебаниям грунта, нужно знать резонансную кривую, подобную изображенной на рис. 43. Нижняя кривая показывает колебания грунта, верхняя — здания. При резонансе, который наступает при периоде колебания 0,32 с, амплитуды колебания достигают 20—25 микрон. Это, в общем, не малая величина.

Рис. 43.

Острота резонанса сказывается и еще на одном важном обстоятельстве: чем острее резонанс, тем медленнее устанавливаются колебания постоянной амплитуды.

Другая особенность вынужденных колебаний — это сдвиг фазы. До сих пор мы молчаливо подразумевали такой выбор начала отсчета времени, при котором при смещение максимально в положительном направлении. Разумеется, если изучается какое-то

одно колебание, то нет нужды делать иной выбор начала отсчета. Однако, если мы сравниваем два колебания и выбираем начало отсчета времени так, чтобы у одного из них при то у второго колебания в это же мгновение смещение может иметь произвольное значение. Это обстоятельство можно учесть, вводя в аргумент косинуса сдвиг фазы если то это значит, что в момент временй При помощи сдвига фаз смещение по фазе описывается вполне однозначно.

Вернемся теперь к резонансным явлениям.

Величина в формуле вынужденного колебания означает, что фаза вынужденного колебания, вообще говоря, сдвинута по отношению к фазе вынуждающего колебания. Величина сдвига фаз зависит от отношения собственной и внешней частот а также от затухания.

Рис. 44.

На приведенном графике (рис. 44) видно, что при резонансной частоте вне зависимости от затухания имеет место сдвиг фазы 90°. Если несколько отойти от условий резонанса; то влияние затухания станет очевидным. При слабом затухании (малых значениях логарифмического декремента 8) при частотах, несколько меньших резонансной, сдвиг фаз близок к нулю, при несколько больших частотах сдвиг фаз близок к 180°. Та же тенденция, но не так четко выраженная, имеет место и при сильном затухании. При незначительном трении можно говорить о скачке в который терпит сдвиг фаз при переходе частоты через резонансное условие.

Чтобы усвоить сущность этих интересных закономерностей, можно проделать простейший опыт (рис. 45). Подвесьте на нитке груз и дайте ему покачаться свободно. Когда период свободных колебаний этого маятника выявится, остановите маятник и периодическим движением руки приведите его в состояние вынужденных колебаний. Сначала двигайте руку быстро, такчтобы период

собственных колебаний был больше периода вынужденных, а затем медленно, так чтобы период собственных колебаний был меньше периода вынужденных. Вы убедитесь в том, что в первом случае маятник и рука движутся в противофазе, а во втором случае — синфазно.

Рис. 45.

Вернемся к рассмотренному на стр. 81 пружинному маятнику, имеющему коэффициент затухания массу и период 0,28 с Если на такой маятник будет действовать синусоидальная внешняя сила с частотой то амплитуда вынужденных колебаний окажется равной уже при амплитуде вынуждающей силы дин Отклонение частоты вынуждающей силы от вызовет изменение амплитуды вынужденных колебаний и фазового угла между колебаниями маятника и внешней силы. В таблице приведены соответствующие данные, полученные по формулам этого параграфа.

(см. скан)

Видно, что при наличии затухания максимальная амплитуда вынужденных колебаний достигается при частоте вынуждающей силы, несколько меньшей собственной частоты колебаний. Чем меньше затухание., тем незаметнее становится этот сдвиг.