§ 118. Электромагнитная энергия

В такой системе как колебательный контур, состоящий из конденсатора (в особенности, если он состоит из близких пластин большой площади) и катушки (в особенности, если она имеет много наложенных витков), электрическое и магнитное поля сосредоточены каждое в своей области. Поэтому можно говорить об электрической и магнитной энергиях как о двух хотя и связанных, но разных величинах. Такое разбиение в значительной степени теряет свой физический смысл, когда мы переходим к рассмотрению быстропеременных полей, в которых значительные по величине электрические и магнитные поля существуют в одних и тех же пространственных областях.

Вспоминая еще сказанное в об относительном характере разбиения электромагнитного поля на электрическое и магнитное, мы поймем необходимость введения в теорию электромагнитной энергии, формально равной сумме электрической и магнитной энергий поля. Электромагнитная энергия распределена в пространстве с плотностью

В объеме V содержится электромагнитная энергия

В быстропеременных полях теряет физический смысл вопрос о превращении магнитной энергии в электрическую и обратно. В то же время надо рассматривать любые энергетические превращения, происходящие в электромагнитном поле, привлекая в энергетический баланс величину электромагнитной энергии как единого целого.

Если принять справедливость написанного выражения для электромагнитной энергии, то, используя уравнения электромагнитного поля, которые мы изучали в предыдущей главе, можно строго доказать следующую теорему для убыли электромагнитной энергии внутри некоторого объема пространства:

Эта теорема была доказана в 1884 г. Пойнтингом, а в более общей форме (в применении не к электромагнитному полю) — Н. А. Умовым в 1874 г. Интеграл, стоящий в правой части равенства, есть поток

вектора К. Этот вектор, как показывает вычисление, которое мы вынуждены были за сложностью опустить, перпендикулярен к плоскости, проходящей через векторы поля (рис. 130), и равен

Так как при удалении от источников поля в бесконечность значения напряженностей убывают достаточно быстро, то поток вектора Пойнтинга обращается в нуль, если речь идет о всем пространстве. В этом случае теорема утверждает: изменение электромагнитной энергии равно избытку работы сторонних сил над выделением тепла.

Рис. 130.

Однако наибольший интерес представляет применение теоремы к конечному объему, когда поток вектора Пойнтинга нулю не равен. Положим, что рассматриваемый объем не охватывает токов, тогда равенство имеет вид

Изменение электромагнитной энергии равно потоку вектора Пойнтинга через поверхность, ограничивающую рассматриваемый объем.

Вектор Пойнтинга характеризует поток электромагнитной энергии, а последнее уравнение выражает следующее фундаментальное обстоятельство: изменение электромагнитной энергии внутри какого-либо объема сопровождается вытеканием или втеканием в этот объем эквивалентного количества энергии.

По сути дела, теорема Пойнтинга является необходимым следствием закона сохранения энергии и предположения о локализации в пространстве электромагнитной энергии.

Если вектор Пойнтинга действительно имеет смысл потока энергии, то он должен быть связан с плотностью энергии соотношением (ср. стр 102, где рассмотрена аналогичная проблема в отношении распространения упругих волн в среде). Теория Максвелла позволяет вычислить скорость распространения электромагнитной энергии Она оказывается равной

Таким образом, в пустоте электромагнитная энергия должна распространяться со скоростью см/с в блестящем согласии с опытом. Совпадение значений с, определенных из чисто электродинамических экспериментов (например, измерением взаимодействия двух токов), со значением этой константы, найденным непосредственным измерением скорости распространения электромагнитных волн, является замечательным и чуть ли не исчерпывающим доказательством справедливости теории Максвелла.

В среде скорость распространения электромагнитного поля в меньше. Мы увидим ниже, в каких случаях это соотношение выполняется, и дадим объяснение отклонениям от него.

Обратимся теперь к рассмотрению энергетических превращений в ограниченных областях пространства, включающих в себя токи проводимости.

Рис. 131.

Пусть в изучаемой нами области находится цилиндрический провод с радиусом по которому течет ток с плотностью Напряженность магнитного поля на поверхности провода (ср. стр. 250) будет равна в системе при этом магнитные силовые линии представляют собой окружности, охватывающие ось тока. При помощи рис. 131 мы убеждаемся в том, что вектор Пойнтинга будет направлен внутрь проводника, так как напряженность поля и вектор тока совпадают по направлению. Что же касается числового значения вектора Пойнтинга, то для него мы получим (на поверхности провода)

Теперь определим поток вектора Пойнтинга, поступающий в участок провода с длиной Этот поток равняется

где V — объем участка провода. Но есть не что иное, как джоулево тепло, выделяющееся в единице объема провода. Мы доказали, таким образом, что поток вектора Пойнтинга поступает в провод и приносит энергию в количестве, как раз равном расходу на джоулево тепло.

Откуда же поступает этот поток? Таким же способом можно показать, что поток энергии выходит из тех участков провода, где локализованы сторонние силы.

Эта картина делает понятным распространение электромагнитной энергии вдоль проводов. Если электрический ток включается в Куйбышеве, а электрическая лампочка загорается в Москве, то

энергия доставлена электромагнитными волнами, а не принесена первыми электронами, начавшими движение вдоль провода.

Примеры. 1. Рассчитаем порядок напряжения, которое появится в антенне радиоприемника, находящегося на расстоянии от радиостанции, излучающей мощность

Численное значение вектора Пойнтинга в месте расположения приемной антенны будет

В системе СГС векторы имеют одинаковые размерности Доказывается, что для электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме, численные значения векторов измеренные в системе СГС, равны между собой: Напомним связь между единицами в системе СИ и

Тогда численные значения векторов системе СИ будут

Отсюда для электромагнитной волны получим: В системе следовательно

Это значит, что в приемной антенне длиной возникает разность потенциалов порядка

2. Сравним полученное значение К с солнечной постоянной — энергией, получаемой Землей от Солнца на за 1 с, за вычетом потерь в атмосфере: