§ 228. Пространственная решетка

В основу исследований кристалла кладется следующее фундаментальное утверждение: распределение вещества в кристалле может быть представлено трехмерной периодической функцией.

Рис. 249.

На рис. 249 изображен рисунок обоев. Имеется некоторый элемент этого рисунка, повторяющийся в двух направлениях. Выберем любую точку А рисунка, назовем ее узлом. Можно провести на рисунке систему линий, проходящих через выбранные узлы. Элемент рисунка, повторением которого строится он весь, заключается в ячейке возникшей сетки. Очевидно, зная ячейку, можно построить весь рисунок при помощи параллельных переносов на величину векторов ячейки

Кристалл представляет собой не плоскую, а пространственную решетку. Элементом, строящим кристалл, является параллелепипед, построенный на трех векторах переноса (трансляциях) а, с, которые, вообще говоря, могут быть выбраны бесчисленным количеством способов. Этот параллелепипед мы будем называть элементарной ячейкой, векторы — основными векторами, или основными трансляциями, а их длины с — основными периодами повторяемости или идентичности решетки. Решетка описывается в системе координат, за оси которой приняты направления основных векторов. Различные способы выбора основных векторов, т. е. элементарной ячейки, иллюстрируются для двумерного случая рис. 250. Элементарная ячейка в общем случае представляет собой косоугольный параллелепипед с ребрами с и углами

Рис. 250.

Шесть величин однозначно характеризующие элементарную ячейку, называются ее параметрами. Поскольку задание элементарной ячейки определяет всю решетку, эти величины иногда называют параметрами решетки.

Ячейку в виде косоугольного параллелепипеда называют триклинной; если то ячейку называют моноклинной. Ячейка в виде прямоугольного параллелепипеда называется ромбической, а если вдобавок то тетрагональной. Если то ячейку называют гексагональной. Простейшие ячейки имеют форму куба. Если один из узлов выбран за начало отсчета, то радиус-вектор любого другого узла можно представить:

где целые числа, нумерующие узлы по соответствующим осям и называемые индексами узлов. Совокупность трех индексов, характеризующих узел, называется символом узла и записывается в виде

Существует бесчисленное количество узловых плоскостей и узловых прямых. Как узловые прямые, так и узловые плоскости представлены в решетке бесконечными параллельными семействами.

Переход от одной прямой к другой прямой того же семейства иди от одной плоскости к другой происходит параллельным переносом (трансляцией) вдоль любого вектора, соединяющего два узла этих прямых или плоскостей. Каждое семейство узловых прямых характеризуется периодом идентичности вдоль узловой прямой и направлением, т. е. наклоном к выбранным осям координат. Для описания семейства выбирается прямая, проходящая через начало координат. Узловая прямая однозначно характеризуется индексами первого узла, лежащего на этой прямой. Индексы этого узла называют индексами прямой и обозначают Если индекс отрицателен, то минус пишется над цифрой. Символ [100] соответствует оси а решетки, оси и [001] — оси с. Прямые представляют собой две плоские диагонали, лежащие в грани Разумеется, это одна и та же прямая. Различение этих обозначений имеет смысл лишь в том случае, если мы хотим подчеркнуть полярность направления. Пространственные диагонали ячейки получают символы [111], [111], и [111]. Их четыре в соответствии с наличием восьми квадрантов; другие четыре символа укажут на те же прямые обратной полярности. Скажем, [111] антипараллельно

Пространственная решетка может быть построена следующим образом. Двумя трансляциями строится бесконечная сетка — узловая плоскость; третьей трансляцией, не лежащей в этой плоскости, строится решетка. Пространственная решетка кристалла может быть представлена семействами узловых плоскостей бесчисленным количеством способов. Всякое семейство узловых плоскостей состоит из параллельных плоскостей, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Для данной решетки исчерпывающей характеристикой семейства узловых плоскостей будет указание межплоскостного расстояния и ориентации одной из этих плоскостей относительно выбранных осей координат. Достаточно также задать ориентацию плоскости, наиболее близкой к началу координат, по отношению к выбранным осям. Расстояние этой плоскости от начала координат будет равно межплоскостному расстоянию рассматриваемого семейства.

Пусть эта ближайшая к началу плоскость отсекает на осях решетки доли основных периодов идентичности Числа характеризующие ориентацию плоскости, назовем индексами плоскости. Нетрудно видеть, что целые числа. Это следует хотя бы из такого рассуждения. Рассмотрим плоскость семейства, проходящую через начальный узел, и другую, сдвинутую на период а. Это показано на рис. 251. Между этими узловыми плоскостями будут проходить и другие, но они должны быть расположены на равных расстояниях друг от друга. Следовательно, периоды идентичности вдоль выбранных осей будут делиться узловыми плоскостями на целое число частей.

Ближайшая к началу координат плоскость, отсекающая по осям координат значения периодов идентичности,

характеризуется совокупностью трех индексов (чисел) h, k и l, называемых символом плоскости. Символ плоскости заключают в круглые скобки: Например, плоскость (236) отсекает по осям отрезки

Рис. 251.

К этому семейству принадлежит любая плоскость, которая отсекает по осям отрезки, в целое число раз большие приведенных.

Рис. 252.

Так, в нашем случае плоскости, следующие за ближайшей к началу координат, будут отсекать такие отрезки по осям: и т. д.

Если плоскость отсекает по осям отрицательные отрезки, то это отмечается знаком минус над соответствующим индексом. Очевидно,

что плоскости принадлежат к одному и тому же семейству. Поэтому можно у индексов плоскости менять все знаки на обратные.

Если плоскость параллельна оси координат, то соответствующий индекс равен нулю. Таким образом, (110) есть плоскость, параллельная оси с, (001) есть плоскость решетки (рис. 252), есть плоскость есть плоскость Плоскости, проходящие через одну из осей и одну из диагоналей, имеют индексы с двумя единицами и одним нулем. Например, плоскость (101) представляет собой плоскость, параллельную оси и проходящую через ту из диагоналей которая не проходит через начало координат и проходит через концы векторов К тому же семейству принадлежит плоскость (101), проходящая через концы векторов — а и — с. Плоскость (101), или ее «обратная сторона» (101), также параллельна оси но идет через ту диагональ которая не начинается в нулевом узле решетки и проходит через концы векторов и и соответственно

Символ с тремя единицами относится к плоскостям, проходящим через три диагонали. Эти же плоскости проходят через концы всех трех векторов решетки. Скажем, плоскость (111) проходит через концы векторов и

Индексы семейства узловых плоскостей решетки являются одновременно индексами граней кристалла. Две параллельные грани получают индексы