Электрическое изображение.

Рассмотрим электрическое поле, которое возникнет, если около плоской металлической поверхности поместить точечный электрический заряд. Благодаря явлению электрической индукции на поверхности металла вблизи точечного источника соберется электрический заряд противоположного знака. Плотность этого заряда будет наибольшей в местах, наиболее близких к точечному источнику, вдали же от него плотность индуцированного заряда будет спадать к нулю. Так же и электрическое поле будет сильнейшим в наиболее близких к заряженной точке

местах. Имеется возможность рассмотреть эту задачу и количественно.

Так как поверхность проводника является поверхностью эквипотенциальной, мржно, ничуть не уменьшая общности задачи, считать проводящую поверхность заземленной и, следовательно, потенциал металла равным нулю. Внутри металла поля нет, и нас интересует электрическое поле в правой части полупространства. Электрические свойства этого полупространства однозначно определены, если указано, какова величина заряда и на каком расстоянии от эквипотенциальной плоскости он находится. Важно следующее: нас совершенно не интересует, что находится слева от поверхности нулевого потенциала.

Рис. 93.

Это обстоятельство строго доказывается в математической физике — поле внутри какого-либо пространства определено однозначно, если заданы заряды внутри этого пространства и указаны граничные условия для потенциала.

Обращаясь к рис. 93, а, на котором изображено поле двух разноименных зарядов, и мысленно деля пространство, заполненное этим полем, на две симметричные части, мы видим, что полупространство этого рисунка в точности эквивалентно полупространству заряда около металла (рис. 93, б). Поля таких полупространств должны быть тождественными. Из этого рассуждения вытекает справедливость следующей процедуры. Мы «отражаем» электрический заряд в поверхности металла. В правой части пространства электрическое поле заряда и его «изображения» должны совпадать с искомым полем. Таким образом, искомое электрическое поле выражается формулой

где расстояние точки наблюдения от заряда, от его изображения.

Второй вывод, который мы делаем: электрический заряд притягивается к металлической поверхности с такой же силой, как и к своему электрическому изображению, т. е. с силой где а — расстояние от заряда до поверхности.

Наконец, тот же подход к задаче позволяет найти распределение индуцированного электрического заряда на металлической поверхности. Для этого следует продифференцировать выражение для потенциала по направлению нормали к поверхности — это даст значение напряженности электрического поля; далее, согласно формуле последнего раздела надо умножить на

Метод электрических изображений имеет ряд применений и дает возможность решать задачи электростатики в случае систем, состоящих из неплоских металлических тел и расположенных вблизи них точечных зарядов.