§ 166. Теория теплового излучения

Рассмотрим полость, внутри которой происходят процессы поглощения и излучения электромагнитных волн. Эта полость может быть шаром, прямоугольным параллелепипедом — это безразлично. Стенки полости излучают и поглощают равные количества энергии, вся система находится в равновесии. Внутри полости существует электромагнитное поле, которое в свою очередь находится в равновесии со стенками: во всех точках пространства плотность энергии поля не меняется со временем.

Это электромагнитное поле мы можем рассмотреть с двух позиций. С одной стороны, в полости существуют стоячие электромагнитные волны, совершенно так же как в закрытой комнате с источниками звука существуют стоячие звуковые волны. С другой стороны, имея в виду квантовую природу поля, мы можем сказать, что рассматриваемое пространство заполнено фотонами, аналогично тому как сосуд с газом заполнен молекулами.

Исходя из волновых представлений, мы можем легко определить число частот электромагнитных колебаний, происходящих в полости. Рассуждения, приведенные в свое время для звуковых волн на стр. 120, полностью применимы и сейчас. Число собственных частот электромагнитных колебаний, меньших равно

где с — теперь скорость электромагнитных волн, объем полости. Эта формула дает число колебаний для случая линейно

поляризованных волн. При тепловом излучении мы имеем дело с неполяризованными колебаниями, которые всегда можно разложить на две оси.

В таком случае число колебаний будет в два раза больше и равняется Дифференцируя, получим, что в интервале частот от до число колебаний будет равно

Теперь мы воспользуемся точкой зрения, рисующей «другуюсторону медали». Полость заполнена колебаниями с частотой иначе говоря, фотонами с энергиями Число можно рассматривать как число фотонов в объеме полости, как плотность фотонного газа. Мы приблизились к ответу на важный вопрос: чему равна плотность электромагнитной энергии в полости? Если бы фотоны всех энергий возникали одинаково часто, то оставалось бы умножить мы получили бы плотность энергии для частот интервала Однако частицы газа не распределены равномерно по энергиям. Поэтому искомая формула имеет вид

где вероятность создания фотона с энергией

Таким образом, плотность электромагнитной энергии для волн (фотонов) с частотой выражается формулой

Поток энергии через единицу площади, т. е. вектор Пойнтинга К, будет, согласно стр. 292, в с раз больше Что же касается потока энергии излучаемого единицей площади тела, находящегося в равновесии с полем, то он должен быть в четыре раза меньше вектора Пойнтинга: Между имеется связь:

Какого же происхождения коэффициент Не желая задерживаться на этом, в общем мало существенном обстоятельстве, проведем следующее упрощенное рассуждение.

Каждая площадка излучает поток энергии идущий во все стороны в пределах полусферы, т. е. телесного угла Таким образом, среднее излучение внутрь единичного телесного угла равно Из геометрических соображений ясно, что излучение равно нулю вдоль площадки и максимально вдоль нормали. Если бы падение интенсивности излучения происходило равномерно, то для получения среднего значения надо было бы, чтобы вдоль нормали излучение равнялось

Теперь рассмотрим сферу, заполненную излучением. В центре сферы имеется площадка, через которую проходит поток энергии Но, с другой стороны, на эту площадку падает излучение со всех участков сферы, равное Следовательно,

Итак, от формулы объемной плотности электромагнитного излучения мы перейдем к выражению испускательной способности черного тела, умножая на

Дальнейшая задача исследования этой функции связана с оценкой вероятности распределения энергии Исторически первая формула для была предложена в 1911 г. независимо друг от друга Рэлеем и Джинсом. Она имеет вид

Эта формула получена в предположении равномерного распределения энергии по степеням свободы, т. е. независимости от Она верна для больших длин волн и высоких температур.

Другая возможность в отношении это использование закона Больцмана, который так хорошо оправдывался для молекулярных газов; тогда Однако уравнение для испускательной способности, носящее имя Вина,

как и формула Рэлея — Джинса, не совпадает с опытом, как это видно из рис. 189.

Где же ошибочное звено в проведенных рассуждениях? Его надо искать в незаконном распространении статистических соображений, лежащих в основе закона Больцмана, на совокупность фотонов. Ведь мы же подчеркивали, что фотоны дают нам одностороннюю точку зрения на электромагнитное поле. Реальность поля не может быть исчерпана представлением его в виде собрания частиц. Естественно поэтому, что у фотонов «своя статистика». Она носит название статистики Бозе — Эйнштейна.

Чтобы получить новую функцию распределения частиц по энергиям, заменяющую закон Больцмана, достаточно учесть, что волновой характер поля делает лишенным содержания представление о различии между тождественными частицами. На этой новой основе и строится статистика Бозе — Эйнштейна (см. стр. 655), которая приводит, как сейчас будет показано, к следующему закону распределения фотонов по энергиям:

следовательно, формула для испускательной способности абсолютно черного тела принимает вид

Эта формула была впервые получена Планком и носит его имя. Блестящее совпадение теоретической формулы с опытом и характер отклонений от правильных результатов теоретических формул Вина и Рэлея — Джинса иллюстрируются рисунком 189.

Рис. 189. (см. скан)

Из формулы Планка вытекают как следствие рассмотренные выше законы Вина и Стефана — Больцмана. Для доказательства первого

из этих законов надо решить задачу на экстремум, т. е. найти корень уравнения

Для доказательства второго положения надо найти

Предоставляем эти вычисления читателю.