§ 30. Спектр колебания

Мы уже говорили о колебаниях, в точности повторяющихся через определенные интервалы времени, но не являющихся гармоническими. Например, шла речь о пилообразных колебаниях. Если быть достаточно придирчивыми, то окажется, что гармонических колебаний, т. е. таких, которые изображаются синусоидой, встречается в природе и технике много меньше, чем негармонических.

В конце предыдущего параграфа мы отметили, что сумма двух синусоид хоть и не дает синусоиды, но образует периодическое колебание, если только частоты относятся как целые числа. Разумеется, это верно и для любого числа гармонических колебаний, а не только для двух.

Сумма колебаний с периодами даст колебание с периодом с таким же периодом будет происходить колебание, складывающееся из трех колебаний с периодами из четырех — с добавлением колебания с периодом из пяти — с добавлением колебания с периодом Переходя к частотам, можно это выразить так: сумма любого числа колебаний с частотами, кратными т. е. с частотами есть колебание с частотой о).

Теперь перед нами встает такой естественный вопрос. Складывая произвольно большое число колебаний с частотами, кратными беря разные колебания то с теми, то с иными амплитудами, не удастся ли нам всегда подобрать такую сумму, которая передаст своеобразие любого колебания, даже пилообразного? Положительный ответ на этот вопрос был дан французским ученым Фурье. Теорема, которая носит его имя, доказывает, что всегда можно подобрать такие значения чтобы представить любое периодическое колебание с частотой со в виде суммы гармонических колебаний:

Частота со называется основной частотой, частоты это обертоны, или гармоника (говорят: вторая гармоника, третья гармоника и т. д.). Чем ближе график колебания к синусоиде, тем меньше амплитуды гармоник. Напротив, если график колебания мало похож на синусоиду, то амплитуды нескольких гармоник будут не сильно отличаться от амплитуды основной частоты.

Представление колебания в виде суммы гармонических колебаний называется разложением колебания в спектр, а спектром

называются данные о частотах и амплитудах гармонических колебаний, из которых составляется колебание с частотой Данные о спектре колебания можно записать в виде таблички. Если частот много, то часто прибегают к графическому изображению спектра (рис. 52).

Идею спектра оказывается возможным распространить и на не периодические процессы. Можно говорить о спектре упругих колебаний, созданных ударом кулака по столу, имеет смысл понятие спектра выстрела или выкрика.

Рис. 52.

Чтобы это стало ясным, рассмотрим сначала процесс, состоящий из периодических затухающих толчков. Это не выкрик или выстрел, а серия выкриков или выстрелов, повторяющихся через равные промежутки времени. Элементом такого процесса является быстро затухающее колебание, и вся кривая имеет вид, показанный на рис. 53, а. Спектр такого колебания можно установить существующими средствами: он будет иметь вид, показанный на соседнем рисунке. Мы видим, что (как этого и следовало ожидать) спектр состоит из множества частот, кратных основной. Обратите внимание, что спектр имеет максимум: наиболее сильно в спектре представлена восьмая гармоника. Этоне случайно: если мы вернемся к картине колебания, то увидим, что в кажготдельном толчке затухающий импульс колеблется с «частотой», в 8 раз большей частоты основного тона (рис. 53, а).

На рис. 53, б показана картина таких же толчков, но они происходят с частотой в два раза меньшей, чем ранее. Сравните спектр этого колебания с предыдущим. Так как основная частота теперь в два раза меньше, то «частота» затухающего элементарного процесса (она осталась той же) будет теперь 16-й гармоникой основного тона. Распределение амплитуд гармоник останется прежним, но только число их в том же интервале частот станет в два раза большим.

Нетрудно теперь понять, что спектр непериодического процесса — одного толчка — будет сплошным. Отдельных частот в нем

не будет, но характер спектра в том же интервале частот будет весьма похож на то, что рассмотрено ранее (рис. 53, в).

Рис. 53.

Математическое доказательство приведенных рассуждений содержится в теории так называемых интегралов Фурье.