§ 19. Момент инерции

Всматриваясь внимательно в формулу для момента инерции, мы видим, что значение I зависит от характера распределения массы по отношению к оси вращения. Точки, лежащие вдали от оси вращения, вносят в сумму значительно больший вклад, чем близкие точки.

Вычислим момент инерции плоского диска с радиусом относительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через его центр (рис. 26). Масса элементарного кольца с радиусом х будет где плотность материала диска. Момент инерции этого кольца а момент инерции всего диска

Рис. 26.

Очевидно, что относительно такой же оси момент инерции кольца, вся масса которого сосредоточена на внешней окружности радиуса будет т. е.

Момент инерции одного и того же тела будет различным, смотря по расположению оси вращения. Если тонкая спица вращается около своей длинной оси, то момент инерции будет крайне мал — все точки лежат очень близко к оси вращения, и следовательно, все величины входящие в формулу для совершенно незначительны. Момент инерции будет гораздо больше, если спицу вращать около линии, перпендикулярной к ее оси.

Момент инерции зависит и от направления оси и от места ее прохождения. Если нет специальной оговорки, то предполагается, что ось вращения проходит через центр инерции тела.

Рис. 27.

Если ось вращения сдвинута по отношению к центру инерции (рис. 27) на расстояние а, то новый момент инерции I будет отличен от момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции.

Используя замечание, сделанное в конце предыдущего параграфа, мы можем кинетическую энергию тела, вращающегося около сдвинутой оси, представить как сумму

здесь скорость движения центра инерции, которая будет равна Таким образом,

Следовательно, момент инерции относительно параллельной оси, сдвинутой на а от центра инерции, будет равен

Отсюда следует, что момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции, всегда самый малый для данного направления. В зависимости от симметрии тела его характеризуют одним, двумя или тремя моментами инерции по отношению к главным осям, проходящим через центр инерции.

Так, для диска характерны две оси, проходящее через его центр: лежащая вдоль диска и перпендикулярная к диску; моменты инерции соответственно равны (разумеется, имеем в виду однородное распределение массы по диску) Для кольца моменты инерции около так же проведенных осей будут

Для всех тел вращения достаточно знать моменты инерции относительно двух осей. В случае тел произвольной формы для исчерпывающей характеристики инерционных свойств тела при вращении вполне достаточно знать три момента инерции относительно осей, проходящих через центр инерции, а именно: наибольший момент инерции наименьший момент инерции относительно оси, перпендикулярной к первым Двум

Единственное тело, у которого моменты инерции около всех осей одинаковы, — это шар. Для шара

Приведенные формулы моментов инерции рассчитаны по формуле

Использование этой формулы требует в общем случае умения оперировать кратными интегралами. Примеры таких вычислений будут даны в курсе теоретической механики.

Как мы узнаем ниже, физика интересуют иногда значения моментов инерции молекул. Так как масса атомов сосредоточена в ядрах, размеры которых крайне малы, то расчет моментов инерции проводится без труда: атомы можно рассматривать как материальные точки.

У двухатомной молекулы момент инерции относительно оси, проходящей через атомы, равен нулю. Для оси, перпендикулярной к соединительной линии, имеем

где — расстояния атомов А к В двухатомной молекулы до центра инерции. Если I — расстояние между атомами, то а Следовательно,

Моменты инерции более сложных молекул также могут быть подсчитаны как суммы моментов инерции точечных атомов.

Примеры. 1. Маховик судового двигателя с массой порядка и диаметром имеет момент инерции Делая 300 об/мин, маховик обладает кинетической энергией вращения

2. Момент инерции земного шара имеет величину порядка Кинетическая энергия вращения Земли вокруг своей оси

3. В молекуле водорода расстояние см, масса атома водорода поэтому момент инерции молекулы относительно оси, перпендикулярной к будет