ГЛАВА 4. ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 18. Кинетическая энергия вращения

В этой главе будут изучаться «абсолютно твердые» тела. Это значит, что всякого рода деформациями, которые могут происходить при движении тела, мы можем пренебречь и полагать, что расстояния между частицами тела остаются неизменными.

Рис. 25.

Рассмотрим твердое тело, вращающееся около неподвижной проходящей через него оси (рис. 25). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с массами находящиеся на расстояниях от оси вращения. Разным значениям расстояний будут соответствовать и различные скорости движения Нас интересует кинетическая энергия вращения всего твердого тела. Она сложится из кинетических энергий частиц т. е.

Скорость кругового движения той или иной точки тела нетрудно выразить через угловую скорость вращения тела Если тело поворачивается за время на угол то производная носит

название угловой скорости:

В случае равномерного движения последняя формула переходит в известное читателю соотношение Величина измеряется обычно в радианах в секунду. Если тело совершает 1 оборот в секунду, то его угловая скорость равна

Все точки вращающегося твердого тела имеют различные скорости (мы будем называть их линейными), но одинаковую угловую скорость При повороте на угол точка проходит дугу Деля обе части этого равенства на время движения находим соотношение между линейной и угловой скоростью:

Таким образом, формула, известная ранее для равномерного движения, справедлива в общем случае.

При помощи этого соотношения выражение для может быть преобразовано следующим образом:

Величина, стоящая в скобках, не зависит от скорости движения, а характеризует инерционные свойства тела во вращательном движении: чем больше величина, стоящая в скобках, тем большую энергию надо затратить для достижения заданной скорости. Поэтому величина

называется моментом инерции тела, а выражение моментом инерции точки. Значение можно записать и короче:

при этом интегрирование (суммирование) происходит по всем точкам тела.

Формула для кинетической энергии вращающегося тела приобретает вид

Эта формула справедлива для тела, вращающегося около неподвижной оси. Если речь идет о катящемся теле — шаре, колесе и пр., то энергия движения будет складываться из энергии вращения и энергии поступательного движения. Если катящееся тело имеет массу момент инерции скорость поступательного движения и вращательного то кинетическая энергия

Более того, оказывается, что последняя формула справедлива для любого производного движения твердого тела. В теоретической механике доказывается, что произвольное движение всегда можно разложить на совокупность поступательного и вращательного. При этом вращение надо рассматривать по отношению к оси, проходящей через центр инерции.