§ 26. Превращения энергии. Затухающие колебания

При колебаниях около положения равновесия в случае, если нет трения, полная энергия тела остается, разумеется, неизменной. Так как потенциальная энергия задается обычно с точностью до произвольной постоянной, то потенциальную энергию в положении равновесия (смещение ) мы положили равной нулю. В любой момент движения

В положении равновесия максимальна кинетическая энергия. В крайних положениях тело останавливается и

максимальна потенциальная энергия. Отсюда, кстати, очевидно, что

— энергия колебания пропорциональна квадрату амплитуды.

Для трех пружинных маятников, рассмотренных в примере на стр. 76, если их амплитуды колебаний одинаковы и равны см, полные энергии колебаний будут соответственно иметь значения

Эти рассуждения не учитывают сил трения, испытываемых, как правило, любым колеблющимся телом. Такие идеальные колебания будут продолжаться вечно с неизменной амплитудой. Наличие трения приводит к затухающим колебаниям. Формально и в этом случае можно записать уравнение смещения в виде

однако А будет уменьшаться со временем (рис. 40). Чтобы узнать, как А должно зависеть от времени, надо знать силы трения, т. е. нужно знать для каждого мгновения колебаний. Простейшее допущение, более или менее удовлетворительно выполняющееся на опыте, состоит в том, что сила трения пропорциональна скорости движения:

а — постоянная, называемая коэффициентом сопротивления.

Рис. 40.

Для шарика радиусом коэффициент сопротивления а при температуре около будет в глицерине в серной кислоте в воде

Уравнение энергии имеет теперь вид

колеблющаяся точка непрерывно теряет энергию в количестве, равном работе сил сопротивления. Уравнение движения записывается так:

Нетрудно показать подстановкой, что это уравнение удовлетворяется решением если амплитуда колебаний уменьшается со временем по экспоненциальному закону:

где амплитуда в момент времени

Обратим внимание на то, что отношение двух последующих амплитуд будет сохраняться. Действительно, запишем выражения амплитуды через периодов и через периодов:

Разделим эти выражения друг на друга. Отношение

действительно не зависит от Иногда быстроту затухания характеризуют логарифмическим декрементом

Итак, затухание происходит тем быстрее, чем больше коэффициент сопротивления, чем меньше масса и чем больше период колебания.

Надо заметить, что период затухающих колебаний отличается от периода свободных колебаний. То же вычисление, которое приводит к формуле временной зависимости амплитуды, дает для периода выражение

Это значит, что при малом сопротивлении мало отличается от при увеличении сопротивления период колебаний растет и, наконец, при

колебания прекращаются. Мы говорим в этом случае, что тело, выведенное из положения равновесия, апериодически возвратится к этому положению.

Примерные значения логарифмических декрементов затухания некоторых колеблющихся систем:

Рассмотрим некоторые примеры затухающих колебаний.

а) Колебания камертона. Логарифмический декремент Пусть период колебаний камертона Тогда Это значит, что за время с амплитуда колебания уменьшится в раз:

Величину называют постоянной времени данной колебательной системы.

б) в акустических колебательных системах, как это видно из приведенной таблицы, логарифмический декремент затухания велик. Это значит, что колебания быстро затухают. Если то уже амплитуда десятого колебания будет меньше начальной амплитуды раз. Действительно,

Изменение периода затухающих колебаний удобно проиллюстрировать на примере затухающих колебаний пружинного маятника. Пусть груз с массой подвешен на стальной пружине, которую он растягивает на 2 см. Тогда жесткость пружины дин/см. Если бы не было затухания, то

Пусть затухание таково, что постоянная времени т. е. коэффициент сопротивления Тогда период колебания станет

Погрузим тот же маятник в жидкость. Пусть теперь постоянная времени с (это значит, что уже амплитуда четвертого колебания примерно в раз меньше начальной, т. е. затухание достаточно сильное):

т. е. даже в этом случае период возрос лишь на