§ 104. Вихревой характер магнитного поля

Исследование хода магнитных линий показывает принципиальное различие между электрическим и магнитным полем. Электрические линии имеют начало и конец, не существует замкнутых линий у постоянного электрического поля. Напротив, опыт показывает, что силовые линии магнитного поля (т. е. векторные линии магнитной индукции) всегда замкнуты, не существуют линии, имеющие начало и конец.

По причинам, обсуждавшимся выше, силы и поля сил, в которых работа по замкнутому пути равна нулю, получили название потенциальных. Векторные поля, характеризующиеся замкнутыми силовыми линиями, носят название вихревых. Магнитное поле является вихревым.

Если провести в магнитном поле замкнутую поверхность, то магнитный поток через такую поверхность будет всегда равен нулю. Иначе говоря, число линий, входящих в эту поверхность, будет равно числу линий, выходящих из нее. Уравнение и является математическим выражением того факта, что у магнитных силовых линий нет начала и конца.

Связь магнитных линий с создающими поле токами состоит в том, что магнитные линии всегда охватывают токи. Поэтому интегралы, взятые вдоль силовой линии от индукции или напряженности, или должны быть отличны от нуля. Целесообразнее рассматривать второй интеграл, так как его величина должна быть пропорциональна силе электрического тока, охватываемого силовой линией; ведь согласно основной формуле напряженности между и силой тока имеет место прямая пропорциональность.

По аналогии с электростатикой называют магнитным напряжением. Если интеграл берется вдоль силовой линии, то

Магнитное напряжение вдоль замкнутой линии должно быть пропорционально току, около которого эта линия обворачивается:

где коэффициент пропорциональности.

Силовая линия может охватывать не один ток, а несколько. Для создаваемого поля существенна алгебраическая сумма токов, и уравнение имеет вид

Более глубокий теоретический анализ, на котором мы здесь не можем останавливаться, показывает, что написанное уравнение подвергается еще двум обобщениям. Во-первых, магнитное напряжение можно взять не только вдоль силовой линии, но и вдоль произвольного контура; во-вторых, коэффициент пропорциональности в уравнении является константой, зависящей лишь от свойств среды и одинаковой для любых геометрических условий. Таким образом, магнитное напряжение, взятое для любой замкнутой кривой линии, одинаково, если только эта кривая охватывает токи определенной силы. Безразлична форма кривой, размеры кривой; кривая может охватывать один ток или десяток токов; эти токи могут быть прямыми, круговыми, — все это безразлично, магнитное напряжение будет одним и тем же, если только алгебраическая сумма токов, пронизывающих кривую, будет иметь одинаковое значение.

Так как коэффициент пропорциональности в формуле магнитного напряжения есть величина универсальная, то мы можем найти если сумеем вычислить магнитное напряжение для любой системы, поле которой нам известно.

Мы познакомились с общим выражением для напряженности магнитного поля элементарного тока. Вычисление магнитного напряжения с помощью формулы напряженности

представляет математические трудности. Кроме того, нам известна формула напряженности магнитного поля на оси кругового тока, Вычисление магнитного напряжения вдоль оси кругового тока не представит особых затруднений. Нас не должно смущать, что интегрирование происходит вдоль прямой линии, в то время как нас интересует магнитное напряжение вдоль замкнутой кривой. Дело в том, что прямая, идущая от отрицательной бесконечности в положительную, является замкнутой кривой — она замыкается в бесконечности. Выражение для магнитного напряжения взятого вдоль такой замкнутой кривой, т. е. вдоль оси кругового тока от отрицательной бесконечности до положительной

бесконечности, можно записать в виде

где а — радиус, расстояние, откладываемое по оси контура. Интеграл легко берется, если перейти к новой переменной по формуле и оказывается равным Подставляя и приравнивая значение магнитного напряжения величине получим

Закон магнитного напряжения имеет вид

Закон магнитного напряжения может оказать существенные услуги в подсчете магнитных полей ряда систем. В его применении нам должны помочь соображения симметрии, и в этом отношении рассуждения, к которым мы сейчас переходим, очень похожи на соответствующие задачи, которые решались в электростатике с помощью закона Гаусса — Остроградского.

Рассмотрим, прежде всего, бесконечный прямолинейный ток. Из соображений симметрии очевидно, что сидовая линия может иметь лишь форму окружности, центр которой совладает с осью провода. Также несомненно, что во всех точках окружности числовое значение напряженности одно и то же. Применяя к такой силовой линии закон магнитного напряжения., получим: При этом есть не что иное как длина силовой линии. Если рассматриваются точки, расположенные на расстоянии от оси провода, то таким образом, для магнитного поля бесконечного прямолинейного тока в пространстве вне провода мы получим:

Найдем теперь напряженность магнитного поля внутри провода. Обозначим радиус провода через а и допустим, что ток распределен вдоль сечения провода вполне равномерно. Силовые линии внутри провода также должны иметь вид окружностей. Рассмотрим такую линию радиуса Через нее протекает доля тока следовательно, закон магнитного напряжения даст

или в системе СИ

Мы видим, что напряженность магнитного поля на оси провода равна нулю, далее она возрастает, становится максимальной на поверхности провода, а затем убывает обратно пропорционально расстоянию (рис. 115).

Если поле определяется в такой точке, для которой расстояние много меньше ее расстояния до конца провода, то формула может быть применена для провода конечных размеров.

Пример. Подсчитаем, какова напряженность магнитного поля на расстоянии 5 см от оси прямолинейного тока силой 20 А.

В системе

В системе

Рис. 115.

Другой важньщ пример использования закона магнитного напряжения — это вычисление поля соленоида.

Положим, что на окружность длиной равномерно навиты витки соленоида. Поле внутри кругового соленоида должно быть однородным, и все силовые линии должны быть окружностями, концентрическими с Такая система для вопросов теории магнитного поля играет ту же роль, что бесконечный плоский конденсатор в теории электрического поля. Каждая силовая линия охватывает все витков, и поэтому магнитное напряжение, взятое вдоль силовой линии длиной будет равно

Так как

Напряженность магнитного поля катушки определяется ее «ампер-витками», т. е. произведением силы тока на число витков на единицу длины соленоида. Последняя формула — одно из оправданий электротехнической системы записи уравнений поля. Соленоид

является одним из основных элементов электротехнических устройств, поэтому упрощение формулы для вычисления напряженности его магнитного поля очень полезно для практики.

Формулу 1 можно применять и для открытого соленоида, однако лишь для тех внутренних точек, которые находятся достаточно далеко от краев.

Пример. Напряженность магнитного поля в центре узкого и длинного соленоида см, витков, будет

В системе СГС тот же расчет примет вид