§ 20. Работа вращения и основное уравнение вращения

Если тело, закрепленное на оси, приводится во вращение силой или, напротив, вращающееся тело тормозится силой, то при этом кинетическая энергия вращения возрастает или убывает на величину затраченной работы. Так же, как и в случае поступательного движения, эта работа зависит от действующей силы и от произведенного ею перемещения. Однако перемещение теперь угловое и знакомое нам выражение работы для смещения материальной точки на некоторое расстояние теперь уже неприменимо.

Рис. 28.

Для нахождения интересующей нас формулы обратимся к чертежу (рис. 28). Сила приложена в точке, находящейся на расстоянии от оси вращения. Угол между направлением силы и радиусом-вектором обозначен через 0. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы (хотя она и приложена к одной точке) равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на

угол точка приложения проходит путь и работа равная произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения, будет равна

Выражение носит название момента силы,

Из чертежа видно, что где кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения. Поэтому

момент силы равен произведению силы на плечо. Формула работы, которую мы искали, есть

Работа вращения тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Строго говоря, формула справедлива для бесконечно малого угла Однако мы можем ею пользоваться в любом случае, если будем понимать под среднее значение момента силы за время поворота. Тогда

Работа вращения идет на увеличение кинетической энергии вращения. Поэтому должно выполняться равенство

Если момент инерции постоянен во время движения, то

или, так

Это есть основное уравнение движения вращающегося тела. Момент силы, действующей на тело, равен произведению момента инерции на угловое ускорение

Примеры. 1. Момент силы, приходящийся на одно колесо локомотива, развивающего тяговое усилие порядка будет порядка

Человек, едущий на велосипеде, создает вращающий момент на педали порядка

2. Покажем на примере связь между выражением для кинетической энергии движущегося твердого тела (см. стр. 63) и основным законом механики.

Пусть катушка с массой и радиусом обладающая моментом инерции относительно своей оси, обмотана невесомой нитью (рис. 29). Конец нити закреплен на некоторой высоте над уровнем Земли. Катушка падает под действием своего веса Составим уравнения движения катушки:

где натяжение нити, — угловая скорость вращения катушки. Исключая получим ускорение

Рис. 29.

Если начать отсчет времени в момент освобождения катушки, то за секунд она упадет на Очевидно, что полная кинетическая энергия катушки в этот момент должна равняться изменению потенциальной энергии катушки:

Подставляя сюда выражение для а, получим